Le théorème d'Euler, tirant son nom du mathématicien suisse Leonhard Euler, lie les fonctions homogènes à leurs dérivées partielles.
Il est souvent utilisé en thermodynamique et en économie.
Énoncé et démonstration Énoncé
Soit un sous-ensemble non vide de tel que si et , alors ( est un cône positif). Soit un réel.
Par définition, une fonction de plusieurs variables est dite positivement homogène de degré si. :
Le théorème d'Euler s'énonce comme suit :
Remarque : l'identité d'Euler peut être vue comme une équation aux dérivées partielles, et le théorème d'Euler, le fait que ses solutions sont les fonctions -positivement homogènes.
Exemples Soit la fonction définie, pour , par :
Cette fonction est homogène de degré 2 puisque, :
On a les dérivées partielles :
On vérifie l'identité d'Euler :
Plus généralement, toute fonction polynomiale homogène vérifie l’identité d'Euler, voir infra, et par conséquent aussi toute fonction rationnelle quotient de fonctions polynomiales homogènes ; par exemple :
vérifie :
La fonction est 1-positivement homogène sur , car la fonction est 0-positivement homogène, donc également la fonction , et la fonction est 1-homogène. La fonction vérifie donc :
Démonstration
Extensions et variantes Généralisation à des ordres de dérivation supérieurs
Les dérivées partielles d'une fonction positivement homogène de degré étant positivement homogènes de degré , on a la relation, pour deux fois différentiable :
Et à l'ordre , pour fois différentiable :
Compte tenu du théorème de Schwarz, on obtient pour de classe :
où est un coefficient multinomial.
Extension à des espaces vectoriels normés quelconques
Soit la différentielle de la fonction :
Cette différentielle, calculée en un point et appliquée sur un vecteur , prend la valeur :
Pour obtenir le premier membre de l'identité d'Euler, on calcule la différentielle au point et on l'applique sur le vecteur lui-même :
On note également .
Ainsi, joue un double rôle, d'abord comme point où l'on calcule la différentielle, puis comme vecteur sur lequel on applique cette différentielle. Avec la notation différentielle, l'identité d'Euler s'écrit sous une forme purement vectorielle, sans avoir besoin de faire apparaitre les composantes de :
De plus, on remarque que l'expression précédente est valide dans tout espace vectoriel normé, de dimension finie ou non, indépendamment de toute base, ce qui conduit au théorème suivant :
Version polynomiale
Soit un corps commutatif de caractéristique nulle et un polynôme de ; alors est un polynôme homogène de degré total si et seulement si l'une des conditions suivantes est réalisée.. :
est somme de monômes de degré total . Pour tout , . vérifie l'identité d'Euler : . Note : les implications et sont vraies dans un corps commutatif quelconque.
L'extension aux dérivées d'ordre vue supra s'écrit alors :
Applications En thermodynamique
En thermodynamique, le théorème d'Euler permet notamment de lier l'enthalpie libre d'un mélange aux potentiels chimiques des constituants de ce mélange.... Soit la quantité du constituant et un nombre réel positif quelconque, par lequel on multiplie toutes les quantités . L'enthalpie libre est une fonction extensive, c'est-à-dire qu'à pression et température données, elle est proportionnelle à la quantité de matière : l'enthalpie libre finale est donc égale à fois l'enthalpie libre initiale, d'où :
À pression et température données, si l'on double les quantités de tous les constituants, l'enthalpie libre est doublée ; inversement, si l'on divise par deux ces quantités, l'enthalpie libre est divisée par deux. En termes mathématiques, la fonction , à pression et température données, est homogène de degré 1 par rapport aux quantités des constituants. On définit les dérivées partielles à pression et température constantes, appelées enthalpies libres molaires partielles :
Ces enthalpies libres molaires partielles sont les potentiels chimiques des constituants :
Le théorème d'Euler permet d'écrire :
Cette relation est généralisable à toute autre fonction thermodynamique extensive, notamment aux autres potentiels thermodynamiques , et , à l'entropie et au volume . Pour les potentiels thermodynamiques on a :
énergie interne :
, ,
énergie libre :
,
enthalpie :
,
En économie
En économie, une fonction de production est généralement homogène, telle la fonction de Cobb-Douglas, très utilisée.. Ces fonctions sont étudiées en appliquant le théorème d'Euler..
Notes et références
Voir aussi Liens externes
Leçon 02 - Cours : Fonctions à plusieurs variables (cours L2 université Paris-Saclay).
Articles connexes
Fonction homogène
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