En mathématiques, un espace fonctionnel est un ensemble d'applications d'une certaine forme d'un ensemble vers un ensemble
Il est appelé « espace » car, selon les cas, il peut être un espace topologique, un espace vectoriel, ou les deux.
Notations L'ensemble des applications de dans est noté ou . Pour la première écriture, on veillera à ne pas se méprendre dans l'ordre des ensembles. Un bon moyen de le retenir est en l'associant avec ce résultat classique de dénombrement : il y a, si et sont finis, applications de dans .
Domaines d'applications
Les espaces fonctionnels apparaissent dans différents domaines des mathématiques : en théorie des ensembles, l'ensemble des parties d'un ensemble peut être identifié à . En effet, se donner une partie de , cela revient à « faire l'appel », à construire une fonction qui à associe si et sinon (mathématiquement on construit la fonction caractéristique de dans ) ; en algèbre linéaire, l'ensemble des applications linéaires d'un espace vectoriel vers un autre sur un même corps commutatif est lui-même un espace vectoriel ; en analyse fonctionnelle, on a la même construction avec les applications linéaires continues, sur des espaces vectoriels topologiques, typiquement : des espaces de fonctions à valeurs réelles ou complexes, munis d'une certaine topologie ; les exemples les plus connus sont les espaces hilbertiens et les espaces de Banach ; en analyse fonctionnelle, l'ensemble des applications de l'ensemble des entiers naturels dans un ensemble quelconque est appelé espace de suites. Il est formé de l'ensemble des suites d'éléments de ; en topologie, on peut essayer de construire une topologie sur l'espace des fonctions continues d'un espace topologique X dans un autre Y, dont l'utilité dépend de la nature des espaces. Une topologie couramment employée est la topologie compacte-ouverte. Un autre topologie possible est la topologie produit sur l'espace des fonctions (pas nécessairement continues) . Dans ce contexte, cette topologie est aussi désignée sous le nom de topologie de la convergence simple ; en topologie algébrique, l'étude de la théorie de l'homotopie repose essentiellement sur l'étude des invariants discrets des espaces de fonctions ; en théorie des processus stochastiques, le problème technique de base est comment construire une mesure de probabilité sur un espace de fonctions constitué de chemins de processus (fonctions du temps) ; en théorie des catégories, un espace fonctionnel est appelé un objet exponentiel. Il apparaît d'une part comme le bifoncteur Hom ; mais en tant que foncteur (simple), du type [X, -], il apparaît comme foncteur adjoint à un foncteur de type (-×X) sur des objets ; en lambda-calcul et en programmation fonctionnelle, des types d'espaces de fonctions sont employés pour exprimer l'idée de fonction d'ordre supérieur ; en théorie des domaines, l'idée fondamentale est de trouver des constructions à partir d'ordres partiels qui peuvent modéliser le lambda-calcul, en créant une catégorie cartésienne fermée.
Analyse fonctionnelle Espaces généraux un espace localement convexe est un espace vectoriel topologique sur R dont la topologie est définie par une famille de semi-normes (ou de façon équivalente possédant des bases de voisinages convexes) ; un espace de Fréchet est un espace localement convexe séparé dont la topologie est définie par une famille dénombrable de semi-normes (ou de façon équivalente : métrisable) et complet (pour n'importe laquelle des distances qui définissent sa topologie) ; un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet ; un espace de Hilbert est un espace de Banach dont la norme est associée à un produit scalaire.
Espaces particuliers
espace de Schwartz des fonctions de classe à décroissance rapide et son dual topologique, l'espace des distributions tempérées ; espaces Lp ; espaces de Lorentz, espaces d'interpolation des espaces ; espace des fonctions continues à support compact muni de la norme de la convergence uniforme ; espace des fonctions continues bornées ; espace des fonctions continues qui tendent vers zéro à l'infini ; espace des fonctions classe ; espace des fonctions C∞ à support compact, muni des normes uniformes de la fonction et de ses dérivées ; espace des fonctions à support compact, muni cette fois d'une certaine topologie limite inductive ; espace des fonctions holomorphes ; espaces de Sobolev ; espaces de Besov ; applications affines par morceaux ; espace des fonctions continues muni de la topologie compacte-ouverte ; espace des fonctions muni de la topologie de la convergence simple ; espaces de Hardy ; espaces de Hölder.
Notes et références
Liens externes
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