La détermination du jour de la semaine est un algorithme utilisé pour déterminer le jour de la semaine (lundi, mardi, mercredi, jeudi, vendredi, samedi, ou dimanche) connaissant la date, basé sur la notion mathématique de congruence. Il est aussi appelé congruence de Zeller, du mathématicien allemand Christian Zeller.

Calendrier civil L'année tropique moyenne (qui est désormais définie comme étant le temps nécessaire pour que la longitude écliptique du Soleil augmente de 360° – et non plus comme étant le temps séparant deux équinoxes de printemps successifs), donnée pour l'an 2000 par Pierre Bretagnon, astronome à l'Observatoire de Paris, compte , , et , soit . Une année civile normale comprend . Si aucune modification n'est réalisée, on commet tous les siècles une erreur de et , d'où des décalages dans les saisons. Les romains suivaient déjà cette division de l'année en et instaurèrent tous les quatre ans une année de ; ainsi l'année moyenne avait une longueur de . En on récupérait ainsi ; mais c'est un peu trop : et en excès. Au Concile de Nicée en 325, les évêques la dénomment année bissextile. Cela est valable dans le calendrier julien. Cependant, tous les quatre ans, ce système commet une erreur de 4 × , soit , soit tous les mille ans une erreur de ~. En 1582 le pape Grégoire XIII instaure le système des années séculaires : parmi les années divisibles par 100, seules les années divisibles par 400 sont bissextiles. De fait, on perd tous les . ; ainsi l'erreur n'est plus que de par an en moyenne, soit de trop par rapport à l'année tropique ! L'écart cumulé serait alors de , soit et en .

[On doit ici mettre le conditionnel, car l'année tropique, indiquée ci-dessus pour l'an 2000, n'est pas constante ; elle diminue au cours des ans du fait que la vitesse de précession des équinoxes (qui était de par siècle le , et qui était précisément au , de 5 029,216 269" (~1,4°) par siècle, soit d'environ 50,3" par an, soit aussi d'environ 1° en ) croît elle-même de 2,211" par siècle par siècle, terme qui lui-même varie avec le temps en une longue période de , tout comme la variation elle-même de l'obliquité de l'axe de la Terre, dont l'inclinaison actuellement diminue de 46,8" par siècle. Dans , la vitesse de précession des équinoxes sera de ~52,52" par an, soit d'environ 1° en . Il en découle que l'année tropique, dans , sera plus courte qu'actuellement de et elle vaudra . Cette diminution croissante donnera un effet cumulé d'encore 2 à en plus des pour l'écart déjà donné ci-dessus...]

Ce principe est à la base du calendrier grégorien. L'erreur commise est de 1 jour tous les , ce qui, à l'échelle humaine, devient acceptable. Lors de la réforme du calendrier par Grégoire XIII, il n'y a pas eu de changement sur le nom du jour, seul le quantième a été modifié ; ainsi le a succédé au : ont été sautés, ainsi les 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, n'ont pas existé dans le calendrier grégorien, mais existent bel et bien dans le calendrier julien qui, au fil des siècles, a pris maintenant « de retard », les années séculaires 1700, 1800 et 1900 ayant été bissextiles dans le calendrier julien, mais plus dans le calendrier grégorien.

Détermination du jour

Une année contient plus 1 ou suivant qu'elle est ou n'est pas bissextile. Le nombre résiduel de jours s'écoulant en une année date pour date est donc 1 ou 2. Si est la date d'une année comprise entre 400 et 9999, est la partie séculaire, la partie annuelle. La partie entière du quart de sa partie annuelle donne une approximation du nombre d'années bissextiles depuis le dernier millésime. On note le nombre :où désigne la fonction partie entière. L'idée est d'effectuer un calcul , en déterminant dans un premier temps le jour du premier du mois correspondant. On doit tenir compte de la succession des mois (29, 30, ou ), et de la succession des années, avec la présence des années bissextiles.

Tableaux de valeurs Valeurs du jour : Dimanche Lundi Mardi Mercredi Jeudi Vendredi Samedi 0 1 2 3 4 5 6

Valeurs du mois : Mois Janvier Février Mars Avril Mai Juin Juillet Aout Septembre Octobre Novembre Décembre Année non bissextile 4 0 0 3 5 1 3 6 2 4 0 2 Année bissextile 3 6 0 3 5 1 3 6 2 4 0 2

Calendrier julien La formule exacte est la suivante : la valeur du jour vaut où est le quantième du mois, la valeur du mois, et la partie entière du quart de la partie annuelle, et mod est la fonction modulo

Premier exemple pour le jour des vêpres siciliennes en date du qui sont connues comme ayant eu lieu un mardi (valeur associée 2) :

; ; ; ; ; ; (mardi).

Deuxième exemple pour le qui est un samedi (valeur associée 6) :

; ; ; ; ; ; (samedi).

Calendrier grégorien Dans le calendrier grégorien (valable depuis le , et dans certains pays seulement), la valeur du jour est donnée par : () mod 7

où est le quantième du mois, est la valeur du mois, est la partie entière du quart de la partie annuelle, la partie entière du quart de la partie séculaire, et mod est la fonction modulo La constante 2 est un ajustement, mais peut être évitée par un décalage des jours.

Premier exemple pour le jour de Pâques 2013 qui ne peut être qu'un dimanche (valeur associée 0) :

; ; ; ; ; ; ; (dimanche).

Deuxième exemple pour la date de naissance de son auteur qui est un jeudi (valeur associée 4) :

; ; ; ; ; ; ; (jeudi).

Voir aussi Articles connexes Christian Zeller, mathématicien allemand inventeur de l'algorithme Calcul de la date de Pâques

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