Le degré d'une application continue entre variétés de même dimension est une généralisation de la notion d'enroulement d'un cercle sur lui-même. C'est un invariant homologique à valeurs entières.
Sa définition, d'abord réservée aux applications différentiables, s'étend aux applications continues par passage à la limite du fait de son invariance par homotopie. Mais la construction des groupes d'homologie permet aussi de proposer une définition directe pour les applications continues.
Enroulement Pour une application continue du cercle unité S dans lui-même,
on définit comme suit le degré d'enroulement.
On paramètre S par
Un théorème de relèvement montre alors que pour toute application continue : ℝ → S et tout choix d'un réel t tel que (0) = p(t), il existe une unique application continue : ℝ → ℝ telle que et .
En appliquant ce théorème à , on trouve donc une application continue
unique à une constante additive près (multiple de ), telle que
Puisque la fonction est continue et que ses valeurs sont des multiples entiers de , elle est constante. Le facteur entier de ce multiple est appelé degré d'enroulement de .
En géométrie différentielle Définition Soient M et N deux variétés différentielles (sans bord) orientées et de même dimension, telles que M soit compacte et N soit connexe.
Soit f une application différentiable de M dans N.
(La définition peut aussi s'étendre aux variétés à bord à condition que la fonction f préserve le bord.)
D'après le théorème de Sard, il existe un point y de N qui soit une valeur régulière de f.
En tout point x de la préimage , la différentielle induit donc une application linéaire surjective entre les espaces tangents (orientés) et .
Par égalité des dimensions, ces applications linéaires sont des isomorphismes d'espaces vectoriels orientés.
Leur signe, noté , est défini comme égal à +1 si préserve l'orientation et à –1 sinon.
Par compacité de M, la préimage est finie et le degré de f en y peut donc se définir par la somme :
Le signe de cet entier dépend du choix des orientations de M et N. Pour des variétés orientables mais non orientées, le degré de f en y n'est donc défini que comme un entier naturel.
Si les variétés M et N ne sont pas toutes deux orientables, le degré de f en une valeur régulière y peut simplement se définir par la parité du cardinal de la préimage, autrement dit : .
Le résultat de ce calcul est indépendant du choix de la valeur régulière. Le degré de f est donc noté simplement deg(f).
Exemples L'application identité est de degré 1. L'application antipodale sur la sphère S est de degré (–1). Si l'application f n'est pas surjective, un point de N qui n'est pas dans l'image de f est une valeur régulière donc le degré de f vaut zéro. C'est notamment le cas si N est non compacte, ou si f est constante et N non réduite à un point. Si f est un revêtement de variétés différentielles compactes orientables sans bord, le degré de f est égal au nombre de feuillets.
Invariance par homotopie L'intérêt principal de cette notion réside dans le fait que si deux applications sont homotopes, elles ont même degré.
Par conséquent, les sphères S ne sont pas contractiles et l'application antipodale n'est pas homotope à l'identité sur les sphères paires.
Le degré constitue même un invariant complet pour les sphères : deux applications de S dans S sont homotopes si et seulement si elles ont même degré.
Plus généralement, le théorème de Hopf, p. 31.. assure que pour toute variété M de dimension n, orientable, compacte et sans bord, deux applications continues de M dans S sont homotopes si (et seulement si) elles ont même degré.
En topologie algébrique Définition Soit M et N deux variétés compactes orientées et de même dimension n, dont les classes d'orientation respectives sont notées [M] et [N]. La condition d'orientation peut être retirée si les groupes d'homologie sont calculés à coefficients dans ℤ/(2).
Si la variété N est connexe, la classe [N] est un générateur du groupe .
Soit f une application continue de M dans N qui préserve le bord. L'application induite en homologie associe à la classe [M] un élément λ[N] de .
Le nombre λ est alors appelé degré de f et noté deg(f).
La propriété d'excision de l'homologie permet de montrer que cette définition étend celle donnée par la géométrie différentielle.
Plus généralement, la notion de degré peut être étendue à toute application entre paires d'espaces munis de classe génératrice d'un groupe d'homologie en une dimension fixée. Ceci permet notamment de parler de degré pour une application entre ou entre espaces de Thom.
Propriétés Le degré est un invariant homologique.
Par dualité de Poincaré en utilisant la cohomologie de De Rham, le degré peut aussi s'obtenir en intégrant sur la variété source une -forme d'intégrale de la variété but ; autrement dit :
pour tout tel que .
Notes et références
Article connexe Indice (analyse complexe)
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