En physique, le centre de gravité ou CdG, appelé G, est le point d'application de la résultante des forces de gravité ou de pesanteur. Il est dépendant du champ de gravitation auquel le corps est soumis et ne peut pas être strictement confondu avec le centre d'inertie qui est le barycentre des masses. Dans la pratique, cependant, il est souvent assimilé à ce dernier, car, dans la plupart des cas, le champ de gravitation auquel le corps est soumis peut être considéré comme uniforme dans le corps considéré.
Historique
Importance du centre de gravité
En statique, le centre de gravité est le point d'application du poids. Il s'agit d'une simplification qui consiste à considérer le poids comme une force s'appliquant en un point unique, G, plutôt que de considérer une force volumique s'appliquant en chaque point de l'objet.
+ Tableau bilan des actions mécaniques Action mécanique Point d'application Direction Sens Intensité Poids Centre de gravité G Verticale Vers le bas m⋅g, où m est la masse et g l'intensité locale du champ de gravité
Outre la simplification des calculs de statique, la connaissance de la position du centre de gravité est indispensable pour déterminer la stabilité d'un objet : pour un objet posé au sol, la droite d'action du poids doit passer dans la surface de sustentation ; si elle se trouve en dehors, l'objet bascule ; lorsqu'un véhicule accélère (au sens physique du terme : augmentation de la vitesse mais aussi freinage, virage), un objet dont le centre de gravité est haut risque de basculer ; il s'agit plus d'une propriété du centre de masse, et cela résulte du principe d'équivalence entre gravité et accélération ; lors du levage d'un objet (élingage), le centre de gravité s'aligne avec la verticale passant par le point d'accroche des élingues (sangles ou câbles) ; si le point d'accroche, le palonnier, ne se situe pas à l'aplomb du centre de gravité au départ, l'objet se balance ; pour un objet flottant, le centre de gravité se positionne à l'aplomb du centre de poussée des forces de pression sur la coque (voir Poussée d'Archimède) ; si le centre de gravité se déplace, l'objet bascule ; lorsqu'une personne seule lève une charge à la main, elle doit s'assurer que le centre de gravité de l'objet soit le plus proche possible de son bassin, et en particulier doit travailler le dos le plus droit possible ; cela limite l'effort de flexion sur les vertèbres lombaires.
Détermination du centre de gravité
Détermination expérimentale
Pour les objets complexes, comme des machines, on détermine les coordonnées xG et yG par élingage : on fait des essais de levage et l'on ajuste la position du point d'accroche des élingues jusqu'à obtenir l'équilibre.
On peut également poser l'objet sur plusieurs balances, au moins trois. La position du centre de gravité est alors le barycentre des positions des balances pondérées par le poids mesuré. Par exemple, pour déterminer le centre de gravité d'une voiture, on peut disposer une balance sous chaque roue.
On ne peut pas déterminer l'altitude zG, sauf à faire des essais d'élingage ou de pesée avec une autre position de l'objet.
Calcul dans le cas général Considérons un objet dont la masse volumique au point M vaut et qui est situé dans le champ de gravité . La position du centre de gravité est définie par la relation suivante :
où est le vecteur poids volumique défini par : .
Cette relation traduit le fait que le moment du poids par rapport au centre de gravité est nul.
Calcul de la position pour les cas simples
Nous supposons ici que le champ de gravité est homogène ; le centre de gravité est alors confondu avec le centre de masse.
Le centre de gravité des objets symétriques — sphères, parallélépipèdes (quelconques, rectangles ou cubes), prismes droits, solides de Platon — et homogènes se situe à leur centre géométrique. Si l'objet présente un élément de symétrie, le centre de gravité se situe sur cet élément de symétrie : symétrie de révolution (pièce composée de troncs de cône, sphères tronquées, cylindres tous coaxiaux) : le centre de gravité se situe sur l'axe de symétrie ; symétrie plane : le centre de gravité se situe sur le plan de symétrie.
Si l'objet est fait d'une tôle plane d'épaisseur constante, le centre de gravité est situé sur le plan passant au milieu de la tôle, et sur la normale passant par le centre de gravité du polygone.
Dans le cas d'un ensemble rigide, composé de n sous-ensembles dont les centres de gravité sont Gi et les poids pi, le centre de gravité de l'ensemble est le barycentre des centres de gravité Gi pondérés par les poids pi :
où p est le poids total, p = ∑pi.
Par exemple, considérons la boîte d'entrée d'un échangeur de chaleur ci-contreBTS ROC session 2002, épreuve U41..
+ Nomenclature 11 1 Tube X2CrNiMo17-12-2 T 64 ∅273,1 ép. 4,16 L = 228 10 1 Bride plate PN 16 DN 250 X2CrNiMo17-12-2 103 Type 01-A 5 1 Bride plate 806 ∅856 ∅711 ép. 2 2 1 Virole 2CrNiMo17-12-2 610 ∅711 ép. 6 L = 1408 1 1 Fond bombé X2CrNiMo17-12-2 310 ∅711 ép. 6 L = 585 Rep. Nb Désignation Matière Poids (N) Observation
Les coordonnées des centres de gravité sont, en millimètres (unité usuelle en chaudronnerie) :
Dans les calculs, les cotes sont converties en mètres : p = 310 + 610 + 806 + 103 + 64 = ;
On présente souvent les calculs sous la forme d'un tableau.
+ Détermination du centre de gravité Sous-ensemble i pi xi yi zi pi⋅xi pi⋅yi pi⋅zi 1 310 1,2 0 0 372 0 0 2 610 0,77 0 0 469,7 0 0 5 806 0,507 0 0 408,642 0 0 10 103 0,79 -0,537 0 81,37 -55,311 0 11 64 0,79 -0,446 0 55,56 -28,544 0 Somme 1893 N/A 1387,272 -83,855 0
Soit
Méthode graphique
thumb|400px|Détermination du centre de gravité par la méthode du funiculaire
On peut utiliser la méthode du dynamique et du funiculaire pour déterminer la position du centre de gravité. En effet, si l'on considère des éléments discrets on peut imaginer le système en équilibre sur une pointe, celle-ci exerçant une force . On a donc à résoudre un problème de statique à forces parallèles, à ceci près que l'on connaît l'intensité de toutes les forces, et que l'inconnue est la droite d'action de l'une d'elles ().
Pour procéder : Sur le dynamique, on place les vecteurs poids les uns derrière les autres, dans l'ordre des pièces prises de gauche à droite. On choisit un point appelé pôle, et l'on trace les droites joignant le pôle aux extrémités des vecteurs (droites polaires) ; on numérote ces droites de haut en bas. On trace les parallèles aux droites polaires sur la figure pour former une ligne brisée ; par exemple, la droite 3', parallèle à la droite 3 séparant les vecteurs et , est tracée entre les droites d'action de et . Les parallèles 0' et 4' aux deux droites polaires extrêmes sont tracées depuis les extrémités de la ligne brisées ; l'intersection de ces droites donne l'abscisse du centre de gravité. Pour déterminer l'ordonnée, on tourne la figure d'un quart de tour et on applique à nouveau la méthode.
Pour déterminer le centre de gravité d'une plaque de forme complexe, on peut découper cette plaque en bandes, appliquer un poids à chaque bande et appliquer la même méthode.
Utilisation des théorèmes de Guldin
thumb|Le théorème de Guldin permet de déterminer simplement le centre de gravité d'un demi-cercle
Les théorèmes de Guldin s'appliquent pour les pièces de révolution. Ils mettent en relation la position du centre de gravité de l'arc générant une coque, la longueur de l'arc et l'aire de la coque ; la position du centre de gravité de la surface générant un solide, l'aire de cette surface et le volume de ce solide. On peut ainsi déterminer la position du centre de gravité.
Étudions une coque hémicylindrique ; vue en bout, on voit un demi-cercle. Le diamètre perpendiculaire à la corde divise ce demi-cercle en deux quarts de cercle égaux ; pour des raisons de symétrie, le centre de gravité se trouve donc sur ce diamètre.
Un demi-cercle, de longueur l = πr, tournant autour de sa corde, génère une sphère d'aire A = 4πr. Le centre de gravité parcourt donc un périmètre p vérifiant . Si rG est le rayon du cercle décrit par le centre de gravité, alors .
thumb|Le théorème de Guldin permet de déterminer simplement le centre de gravité d'un demi-disque
Étudions maintenant une plaque en forme de demi-disque d'aire A = 1/2πr. Le diamètre perpendiculaire à la corde divise ce demi-cercle en deux quarts de cercle égaux ; pour des raisons de symétrie, le centre de gravité se trouve donc sur ce diamètre.
En tournant autour de sa corde, ce demi-disque génère une sphère de volume V = 4/3πr. Le centre de gravité parcourt donc un périmètre p vérifiant . Si rG est le rayon du cercle décrit par le centre de gravité, alors .
Justification des méthodes de calcul
Cas d'un ensemble de points matériels
Soient deux points matériels M1 et M2 de masses respectives m1 et m2, donc de poids respectifs et . Si ces points sont solidaires (reliés par une barre rigide de poids négligeable), on peut les remplacer par un point matériel unique G de poids .
Pour que le système soit équivalent d'un point de vue statique, le moment du poids résultant par rapport à un point quelconque A doit être égal à la somme des moments des forces et par rapport à ce point :
soit, par définition du moment d'une force, . On se place dans un repère orthonormé , z étant l'axe vertical, et l'on note les coordonnées : M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), G(xG, yG, zG) et les composantes :
avec .
Le point A est quelconque, on peut donc calculer le moment par rapport à O pour simplifier :
soit
et donc
On peut refaire le calcul en considérant que le poids est orienté selon l'axe x ; cela revient à tourner l'ensemble rigide {M1, M2} d'un quart de tour dans le plan vertical (x, z), et à considérer que le repère est lié à l'ensemble rigide {M1, M2}. On obtient alors une nouvelle relation similaire pour les coordonnées en z, soit finalement :
Le centre de gravité est donc le barycentre des points matériels pondérés par leur poids. On peut étendre ce résultat à un ensemble de n points Mi(xi, yi, zi) :
avec p = ∑pi. Il présente toutes les propriétés géométriques du barycentre.
Le champ de gravité étant supposé homogène, on a pi = mi⋅g p = (∑mi)⋅g et donc
avec m = ∑mi. On retrouve bien la définition du centre de masse.
Cas d'un objet continu
Soit un objet homogène de masse volumique ρ. Considérons un volume de matière infinitésimal dV autour d'un point M ; c'est un point matériel de masse dm = ρ(M)dV et de poids dp = dm⋅g.
Le calcul est similaire au cas discret, mais la somme devient une intégrale (l'intégrale est une somme sur un ensemble continu) :
avec . Par ailleurs, si g est uniforme : p = mg avec la masse soit
ce qui est la définition du centre de masse.
Cas d'un objet homogène
Si la masse volumique est uniforme, alors
et donc
Le centre de gravité est donc le « centre géométrique », c'est-à-dire le barycentre en considérant que tous les points de l'objet ont la même pondération (isobarycentre).
Champ de gravité non homogène