En géométrie affine ou euclidienne, les fonctions vectorielles et scalaires de Leibniz sont des fonctions qui, à des points, associent des vecteurs (fonction vectorielle) ou des nombres (fonction scalaire). Ces fonctions sont très intimement liées aux notions de coordonnées barycentriques et de barycentre.

Historique Quand Leibniz arrive en France en 1672, il découvre véritablement l'algèbre géométrique de Viète dont il n'avait eu jusque-là que des aperçusCf. . C'est probablement en référence à l'Analyse Spécieuse de Viète que Leibniz donne le nom d’Analysis situs à la recherche qu'il conduit sur le même principe en géométrie. Selon Coxeter, Leibniz partage, avec Newton, le mérite d'avoir libéralisé l'usage de coordonnées négatives en géométrie. Mais il est en quête d'un symbolisme plus général. Dans une lettre à Huygens datée du , il écrit :

Le fil des recherches de Leibniz sur la colinéarité des points et la notion de barycentre généralisé ne reprit qu'en 1827 avec le « calcul barycentrique » de l'astronome allemand August Ferdinand Möbius, qui ne traite toutefois que l'opération sur des points alignés. L'addition de segments non-colinéaires est due à Hermann Grassmann (Ausdehnungslehre, 1844) ; celle d'équipollence de bipoints, à l'Italien Giusto Bellavitis : ces deux notions marquent véritablement l'avènement de la notion algébrique de vecteur..

L'étude des fonctions vectorielle et scalaire de Leibniz était au programme du baccalauréat scientifique (« série C ») en France de 1971 à 1983.

Fonction vectorielle de Leibniz On se place dans un espace affine E associé à un espace vectoriel V. Soient une famille de points et une famille de scalaires, on appelle fonction vectorielle de Leibniz associée au système , l'application de E dans V qui, au point associe le vecteur .

Si la somme des coefficients est nulle, cette fonction est constante. Si un des coefficients est non nul (par exemple ), cette constante est égale à où est le barycentre du système

Si la somme des coefficients est non nulle, cette fonction se simplifie en

où est le barycentre du système de points pondérés .

Cette dernière propriété permet de réduire une combinaison linéaire de plusieurs vecteurs en un seul vecteur grâce à un barycentre. Elle permet aussi de donner les coordonnées du barycentre quand l'espace est de dimension finie.

En effet, .

Ce qui se traduit en termes de coordonnées par .

Fonction scalaire de Leibniz Il s'agit de la généralisation à points de la solution que Leibniz a donnée d'un lieu géométrique dans sa Caractéristique géométrique. (voir théorème de Leibniz).

On se place dans un espace affine euclidien. Soient une famille de points et une famille de scalaires, on appelle fonction scalaire de LeibnizD'après Thuizat et al. , p.106 associée au système , l'application de E dans qui, au point associe le scalaire .

Formules associées

Si la somme des coefficients est nulle, cette fonction se simplifie en

où est la constante égale à la fonction vectorielle de Leibniz associée au système et où est un point arbitrairement fixé.

Si la somme des coefficients est non nulle, cette fonction se simplifie en

où est le barycentre du système .

De plus

Posant , on a : .

Or , d'où le résultat.

Application aux lignes de niveau de la fonction scalaire de Leibniz En dimension 2, l'ensemble des points M tels que f(M) = k est dans le cas où la somme des coefficients est nulle une droite orthogonale à si est non nul tout le plan ou l'ensemble vide (selon les valeurs de k) si est nul dans le cas où la somme des coefficients est non nulle un cercle de centre , le point ou l'ensemble vide (selon les valeurs de k)

Cas où la somme des coefficients est strictement positive La formule ci-dessus montre que la fonction scalaire de Leibniz est minimale au barycentre des points pondérés.

Par exemple, la somme des carrés des distances aux sommets d'un triangle est minimale au centre de gravité.

Voir aussi

Le théorème de König-Huygens qui est une transcription de la formule dans le cadre des statistiques, des probabilités, ou de la mécanique. La définition de la moyenne arithmétique comme minimisation d'une fonction de distance. La relation de Stewart qui est un cas particulier de réduction de la fonction scalaire de Leibniz. Les cercles d'Apollonius associés à deux points donnés dont la détermination peut utiliser une fonction scalaire de Leibniz.

Notes

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