Patron (géométrie)

En géométrie, le patron d'un polyèdre, p=62-63. est une figure géométrique plane en un seul morceau qui permet de reconstituer le polyèdre après plusieurs pliages (au niveau de certaines arêtes, les autres apparaissant par jonction des bords du patron). Le terme de patron est à prendre ici dans son deuxième sens : celui de modèle pour construire un objetPatron sur le TLFI..

Développer un polyèdre consiste à rabattre les différentes faces du polyèdre dans un même plan par découpage selon les arêtes Article «Développement dans , p. 204.. Le résultat donnant un patron du polyèdre, les termes de développement et de patron sont considérés comme presque synonymesArticle «Patron d'un solide» dans le lexique de mathématiques de Scolab..

On peut également développer certaines surfaces en faisant correspondre chaque point de la surface à un point du plan comme si on faisait rouler la surface sur le plan. Cela nécessite que l'on puisse en tout point tracer une droite sur la surface et que le plan tangent à la surface soit le même pour chaque point de cette droite. On dit alors que la surface est développable. Sa courbure de Gauss est nulle.

On étend la notion de patron à des solides possédant des surfaces développables comme les cônes ou les cylindres. La sphère, ayant une surface non développable, ne possède pas de patron.

Polyèdres

Un polyèdre est une forme géométrique tridimensionnelle fermée composée uniquement de faces planes polygonales (triangles, quadrilatères). On trouve parmi eux le cube, les parallélépipèdes (également connus sous le nom de « pavés »), les pyramides (possédant une base polygonale quelconque) ou encore les prismes droits qui sont formés de deux bases et d'autant de rectangles que le nombre de côtés de ces dernières.

Le patron d'un polyèdre est une représentation dans le plan de ses faces jointes par leurs côtés (on exclut la jonction des faces par un point unique, qui deviendrait un sommet du solide). Il n'y a pas nécessairement unicité.

Cube

La surface du cube est formée de six faces carrées. À une isométrie près, il existe onze façons de disposer les carrés pour former onze patrons différents.

Tétraèdre Tétraèdre régulier La surface d'un tétraèdre régulier est formée de quatre triangles équilatéraux. Le tétraèdre possède, à une isométrie près, deux développements : un en forme de triangle équilatéral de côté et l'autre en forme de parallélogramme de dimensions et avec un cisaillement de 60° (ce qui donne une hauteur de ).

En guise d'anecdote, Gérard Villemin fait remarquer que l'on peut aussi reconstituer un tétraèdre à l'aide d'un billet de 1 dollar américain, alors que cela n'est pas possible avec un billet de l'union européenneTétraèdre et dollar sur Nombres : curiosités, théorie, usage.. Il est vrai que les dimensions de ce billet sont telles que le rapport entre sa largeur et sa longueur est voisin de et, par cisaillement, peut redonner le patron d'un tétraèdre. Le billet est un pseudo-patron d'un tétraèdre car une face est coupée en deux.

Tétraèdre équifacial Un tétraèdre équifacial est un tétraèdre dont toutes les faces sont isométriques. Les faces sont nécessairement des triangles identiques sans angle obtus. Un tétraèdre équifacial a pour patron un triangle découpé en 4 triangles isométriques par les droites des milieux ou un parallélogramme découpé par la médiane du plus grand côté et deux diagonales des petits parallélogrammes. Tétraèdre quelconque

Un tétraèdre quelconque se développe selon deux types de patrons : un patron étoilé obtenu par rabattement de trois faces autour de la quatrième (la base), un patron en ligne dans lequel on développe les trois faces latérales pour finir par la base. cela conduit à 4 patrons étoilés (selon le choix de la base) et 12 patrons en ligne (selon le choix des triangles aux extrémités et l'ordre des triangles intérieurs).

Parallélépipède

Les parallélépipèdes (rhomboèdres, parallélépipèdes rectangles, cubes …) sont composés de six faces deux à deux parallèles, ayant ainsi douze arêtes et huit sommets. Ils se développent selon les 11 types possibles décrits dans le développement du cube. Cela conduit, pour un pavé droit, à 54 patrons différents non isométriquesPour une représentation des 54 patrons, voir la page sur les pavés du site fr.maths.. Dans le développement d'un parallélépipède quelconque, les faces opposées sont isométriques mais d'orientations différentes.

Prisme droit

Un prisme droit est un solide délimité par deux faces polygonales (les bases) et des faces latérales rectangulaires. Si la base à côtés, le prisme possède faces latérales rectangulaires.

Une façon simple de construire le patron d'un prisme droit est de construire un rectangle dont la hauteur correspond à la hauteur du prisme, et la largeur au périmètre d'une base et de dessiner dans ce rectangle les rectangles constituant les faces latérales du prisme, on accole alors les deux bases (symétriques l'une de l'autre) sur deux côtés opposés d'un même rectangle.

Si la base n'est pas convexe, il faut choisir, pour accoler les bases, un côté qui ne conduit pas à un chevauchement entre la base et la surface latérale. Ce côté doit être choisi parmi ceux de l'enveloppe convexe de la base. Certains prismes à base étoilée ne possèdent pas de patron respectant la règle de connexion suivant une arête.

Les prismes obliques possèdent des développements analogues à celui du prisme droit, en déroulant la surface latérale, à ceci près que les faces n'étant pas rectangulaires, mais seulement des parallélogrammes, les arêtes associées aux bases ne sont pas alignées mais dessinent une ligne polygonale.

Pyramide Une pyramide est un solide possédant une base polygonale, dont chaque sommet est lié par une arête à un point unique situé hors du plan de la base, l’apex. Elle possède donc une face de plus que sa base n’a de côtés, et seule la base n’est pas nécessairement triangulaire. Ainsi, pour une pyramide dont la base est un polygone à cotés, son patron sera composé de polygones. Le patron le plus évident d’une pyramide est semblable à une étoile. D’autres patrons sont cependant possibles, il suffit d’attacher habilement les faces triangulaires suivant les arêtes partant de l’apex. Le tétraèdre régulier, qui peut être vu comme une pyramide à base triangulaire dont tous les côtés sont égaux, possède deux développements.

Une pyramide est entièrement déterminée par la forme de sa base, sa hauteur , et le pied H de sa hauteur. Pour obtenir un patron en étoile, il suffit de construire la base et de rabattre les autres côtés en étoile autour de la base. Dans cette opération de rabattement le sommet reste dans un plan orthogonal à l'axe de rabattement. Le sommet rabattu est donc sur la perpendiculaire au côté de rabattement passant par H.

Pour tout point M du polygone de base, le triangle SHM est rectangle en H, permettant de déterminer la longueur SM, connaissant SH et HM. Puis, connaissant la position de S sur un des triangles rabattus, on le reproduit sur les autres perpendiculaires, en utilisant la propriété d'égalité des côtés rabattus.

Cette méthode est adaptée pour toute pyramide dont la base est un polygone convexe. Si la base est concave, une telle méthode risque de conduire à des triangles se chevauchant. Il est alors nécessaire de déplacer les faces pour éviter ces chevauchements. Il peut arriver que cela soit impossible (cas d'une base étoilée).

Nombre de patrons Takashi Horiyama et Wataru Shoji ont calculé le nombre de patrons de différents polyèdres archimédiens.. + Polyèdre Nombre de patrons Cuboctaèdre Icosidodécaèdre Tétraèdre tronqué Octaèdre tronqué Cube tronqué Cube camus Icosaèdre tronqué Dodécaèdre tronqué Petit rhombicuboctaèdre Grand rhombicuboctaèdre Petit rhombicosidodécaèdre

Avec faces non planes Il est possible de réaliser le patron d’un solide possédant une ou plusieurs faces non planes, à condition que celles-ci soient développables. Ainsi, il est possible de réaliser le patron d’un cône ou d’un cylindre à la différence du patron d'une sphère (sa courbure de Gauss n'est pas nulle). En ce cas, on accepte dans les patrons des points de jonction uniques entre deux faces, le plus couramment entre le développement d’une face courbe du solide et le bord arqué d’une face plane. Il en outre parfois nécessaire de couper la surface développable.

Cylindre de révolution

Un cylindre de révolution est le solide engendré par la rotation d'un rectangle autour d'un de ses côtés. Il est composé de deux bases qui sont des disques superposables, et d'une surface latérale qui, coupée perpendiculairement à son bord long, se développe selon un rectangle.

Si le rectangle engendrant par rotation le cylindre a pour dimensions et et tourne autour de son côté de longueur , le cylindre engendré a pour hauteur , et les disques de base ont pour rayon . La surface latérale se développe alors selon un rectangle de dimensions et .

Le patron est donc composé deux disques de rayon et de ce rectangle de dimensions venant s'enrouler autour des disques quand on reconstitue le cylindre.

On peut aussi découper le cylindre dans une direction oblique. Le patron est alors constitué de deux disques et d'un parallélogramme de base de longueur et de hauteur . C'est ce type de patron qui apparaît dans les rouleaux servant de support à certains papiers comme le papier toilette ou l'essuie-tout. En réalité, tout découpage de la surface latérale allant d'un bord du disque à un bord de l'autre disque conduit à un patron possible du cylindre.

Le patron d'un cylindre droit est analogue à celui d'un cylindre de révolution (et d'un prisme droit). La surface latérale se développe selon un rectangle de dimensions et où est le périmètre de la base. Ce rectangle est complété par les deux bases, symétriques l'une de l'autre.

Cône de révolution

Un cône de révolution est le solide engendré par la rotation d'un triangle rectangle autour d'un des côtés de l'angle droit. Sa surface est composée d'une base circulaire et d'une surface latérale qui, coupée du sommet jusqu'à son bord long selon une droite, se développe en un secteur circulaire.

Si le triangle rectangle a pour côtés de l'angle droit et et tourne autour de son côté de longueur , le cône engendré a pour hauteur , et le disque de base a pour rayon . La surface latérale se développe selon un secteur circulaire de rayon correspondant à l'hypoténuse du triangle rectangle et d'angle au centre égal à

Le patron est donc composé du disque de rayon et de ce secteur circulaire venant s'enrouler autour du bord du disque, ses deux rayons venant se rejoindre pour reformer la surface latérale.

Cylindre tronqué La coupe d'un cylindre droit par un plan oblique est une préoccupation fréquente notamment en tôlerie pour construire des tuyaux coudés.. Le patron d'un cylindre tronqué est constitué d'un face circulaire et d'une face en forme d'ellipse. Le rectangle du développement du cylindre droit est découpé suivant une sinusoïde..

Ce découpage préfigure la forme que prendra le patron d'un cylindre circulaire oblique.

Cône tronqué Une façon simple de découper un cône est de le faire selon un plan perpendiculaire à son axe. Le solide obtenu est constitué de deux bases circulaires de même axe mais de tailles différents et d'un surface latérale se développant selon la surface comprise entre deux secteurs circulaires homothétiques.

Si l'on cherche à couper le cône suivant un plan oblique faisant avec le plan de base un angle inférieur à celui d'une directrice , le solide obtenu est constitué d'une base circulaire, d'une surface elliptique et d'une surface latérale se développant selon une portion de secteur circulaire. La découpe du secteur circulaire s'effectue selon une courbe complexe, une polygastéroïde., que l'on construit souvent point par point en dessin technique..

Sphéricône