Trou noir de Schwarzschild

En astrophysique, le est le plus simple modèle de trous noirs. Il est l'analogue, en relativité générale, d'une masse ponctuelle en gravitation newtonienne. Il consiste, par définition, en un trou noir : dont la masse est constante et strictement positive : ; dont la charge électrique est nulle : ; dont le moment cinétique est nul : , c'est-à-dire qui n'est pas en rotation ; dont la singularité gravitationnelle est ponctuelle ; dont l'horizon des événements est une hypersurface de rayon égal au rayon de Schwarzschild : ; dont l'ergosphère est confondue avec l'horizon des événements, de sorte qu'il n'existe pas d'ergorégion, .

Plus formellement, c'est le trou noir que peut contenir un espace-temps quadridimensionnel dont la métrique est solution de l'équation d'Einstein pour le vide à l'extérieur d'un corps isolé de masse constante, à symétrie sphérique qui n'est pas en rotation sur elle-même et qui est électriquement neutre . La métrique satisfaisant à ces conditions est la métrique de Schwarzschild.

Le trou noir de Schwarzschild est très instructif pour comprendre certaines propriétés fondamentales des trous noirs. Mais il n'est pas physiquement réaliste.

Le trou noir de Schwarzschild s'interprète comme l' d'un trou noir de masse donnée. Il représente l'état final d'un trou noir de Kerr de l'ergorégion duquel toute l'énergie de rotation aurait été extraite par processus de Penrose.

Dans le cadre de l'extension analytique maximale de la métrique de Schwarzschild, le trou noir est : il n'est pas né d'un effondrement gravitationnel. Dans ce cadre, il est relié à un trou blanc par un pont d'Einstein-Rosen qui consiste en un trou de ver non traversable.

Historique L'éponyme du trou noir de Schwarzschild est l'astronome allemand Karl Schwarzschild (-).

Le terme de trou noir "black hole" est inventé en 1967 par le physicien américain John Wheeler. Il avait déjà été imaginé au par Laplace : « Un astre lumineux de même diamètre que la Terre, dont la densité serait deux cent cinquante fois plus grande que celle du Soleil, ne laisserait en vertu de son attraction, parvenir aucun de ses rayons jusqu’à nous ». Cette idée n’a rien à voir ni avec la relativité générale ni avec Schwarzschild puisque prévu par la mécanique newtonienne.

La métrique de Schwarzschild, de laquelle dérivent les solutions de l'équation d'Einstein qu'on identifie aux trous noirs de Schwarzschild, a été obtenue la première fois par Schwarzschild, peu après la publication de la théorie de la relativité générale par Albert Einstein en 1915.

Propriétés

Masse L'espace-temps, dont la métrique de Schwarzschild décrit la géométrie, ne contient un trou noir que si la masse est strictement positive et le vide s'étend jusqu'au rayon de Schwarzschild.

La masse d'un trou noir de Schwarzschild est un nombre réel positif non nul : , soit . En effet, avec une masse négative, la métrique de Schwarzschild exhibe une singularité nue.

La masse d'un trou noir de Schwarzschild est égale à la masse irréductible d'un trou noir de Kerr.

Dernière orbite circulaire stable Le rayon de la dernière orbite circulaire stable () sur laquelle une particule massive peut se mouvoir autour d'un trou noir de Schwarzschild est donnée par :

.

Horizon des événements L'aire de l'horizon des événements () d'un trou noir de Schwarzschild est celle d'une sphère () dont le rayon aréolaire () est, par définition, le rayon de Schwarzschild () : .

L'horizon des événements d'un trou noir de Schwarzschild coïncide avec d'autres horizons :

.

L'horizon des événements d'un trou noir de Schwarzschild est dit surface de décalage infini vers le rouge : des photons émis par une source statique juste à l'extérieur de l'horizon ont une longueur d'onde infinie quand elle est mesurée par des observateurs statiques à l'infini.

Il est aussi dit limite statique : il ne peut pas exister d'observateurs statiques à l'intérieur de l'horizon.

À l'horizon des événements, la gravité de surface () est donnée par :

.

Singularité La singularité gravitationnelle, localisée au-delà de l'horizon, est ponctuelle, future, du genre espace.

Un observateur en chute libre depuis l'horizon des évènements atteint la singularité en un temps propre de : .

Absence d'ergorégion Dans un espace-temps stationnaire, l'ergorégion est la région où le champ de Killing associé à la stationnarité devient de genre espace. Dans le cas d'un trou noir de Schwarzschild, la limite de l'ergorégion coïncide avec l'horizon des événements. Ainsi, nulle ergorégion ne s'étend à l'extérieur d'un trou noir de Schwarzschild.

Théorème de Birkhoff Un théorème remarquable dû à Birkhoff affirme que la métrique de Schwarzschild est l'unique solution aux équations d'Einstein dans le vide possédant la symétrie sphérique. Comme la métrique de Schwarzschild est également statique, ceci montre qu'en fait dans le vide toute solution sphérique est automatiquement statique.

Ce théorème a une conséquence importante :

Un trou noir de Schwarzschild dans le vide, n'étant pas soumis à une quelconque interaction, ne peut pas émettre d'onde gravitationnelle.

Théorème de calvitie

Le théorème d'unicité d'Israel ou, en forme courte, le est le théorème qui établit l'unicité du trou noir de Schwarzschild. Il est le premier des théorèmes d'unicités relatifs aux trous noirs. Son éponyme est Werner Israel (-) l'a présenté en . Antérieurement, Georges Darmois (-) avait conjecturé l'unicité du trou noir de Schwarzschild. La preuve du théorème a été améliorée par Müller zum Hagen en et et par Robinson en et . De nouvelles preuves du théorème ont été apportées par Simon en , par Bunting et Masood ul Alam en et par celui-ci en .

Le théorème de calvitie dit la chose suivante : '''Un trou noir est entièrement décrit par trois paramètres essentiels, qui à eux seuls, permettent de retrouver tous les autres : la masse la charge électrique sa rotation (son moment angulaire)

Lorsqu'une étoile s'effondre en un trou noir, les valeurs des paramètres cités au-dessus sont conservées. Ce qui veut dire qu'un trou noir de Schwarzschild, de masse M, de charge nulle et de moment angulaire nul est né à partir d'une étoile ayant un moment angulaire nul, de charge nulle et ayant la même masse.

La nécessité d'avoir une étoile de charge et de moment angulaire nuls font que, dans l'absolu, ce genre de trou noir est plus théorique qu'autre chose. Cependant, en pratique, ce modèle reste satisfaisant pour la plupart des trous noirs d'origine stellaire, la charge réelle d'une étoile étant faible et sa vitesse de rotation négligeable par rapport à la vitesse de la lumière.

Tous les autres paramètres que les trois cités au-dessus, comme la température, sa pression... disparaissent. On ne peut donc, à partir d'un trou noir dont on connaît masse, charge et moment angulaire, retrouver les autres paramètres de l'étoile génitrice.

Notes et références

Notes

Références

Voir aussi

Bibliographie

. .

. . . .

. . .

.

. . . . . . . . .

Dictionnaires .

Ouvrages fondamentaux . .

Théorème d'Israel . . . . .

Articles connexes Métrique de Schwarzschild Théorème de Birkhoff (relativité) Théorème de Birkhoff (électromagnétisme) Trou noir de Kerr Trou noir de Reissner-Nordström Trou noir de Kerr-Newman

Liens externes .

Catégorie:Trou noir