En physique la notion de symétrie, qui est intimement associée à la notion d'invariance, renvoie à la possibilité de considérer un même système physique selon plusieurs points de vue distincts en termes de description mais équivalents quant aux prédictions effectuées sur son évolution.

Une théorie physique possède alors une symétrie S, si toute équation dans cette théorie décrit tout aussi correctement une particule ρ qu'une particule -ρ 'symétrique' de ρ. La symétrie S considérée peut porter sur la charge électrique de la particule, ou sur toute autre variable, ou combinaison de variables, intervenant dans ses équations.

Cet article se propose de passer en revue les principaux types de symétries rencontrés en physique, de décrire brièvement leur implémentation formelle et enfin de présenter les mécanismes par lesquels une symétrie peut être brisée dans la nature, ce qui peut compliquer sa mise en évidence dans la pratique.

Histoire de la notion de symétrie en physique Le mot symétrie vient du grec ancien indiquant une relation de commensurabilité, et plus spécifiquement de proportion harmonieuse entre différents éléments d’un tout. La notion moderne de symétrie conserve ce lien entre les idées d’harmonie, de beauté et d’unité, particulièrement développé dans la philosophie platonicienne, comme le montre l’exemple fameux des cinq « solides de Platon »Les cinq polyèdres réguliers convexes, définis par des relations de symétrie entre leurs faces (tétraèdre, cube, octaèdre, dodécaèdre et icosaèdre). du Timée. L’usage, souvent implicite, d’arguments de symétrie au service de raisonnements physiques existe ainsi depuis l’Antiquité. Chez les Grecs anciens, deux exemples sont restés particulièrement célèbres. Le premier, dû à Anaximandre et rapporté par Aristote dans son traité Du ciel explique l’immobilité de la Terre par sa position centrale dans un Cosmos sphérique (géocentrisme) : aucune direction ne pouvant être privilégiée pour son mouvement – ce qu’en termes modernes on qualifie d’isotropie – elle doit nécessairement demeurer statiqueLa cosmologie contemporaine fait toujours un usage important de cette isotropie de l'Univers, mais rejette sa forme sphérique pour la remplacer par une hypothèse d'homogénéité, c'est-à-dire de symétrie par une translation quelconque (« principe cosmologique »). Cette hypothèse implique l'absence de tout centre dans l'Univers, contrairement à la conception des Grecs, et rend donc l'isotropie compatible avec l'absence de position centrale de la Terre.. Le second est dû à Archimède, pour sa démonstration des lois de l’équilibre des corps et la recherche des barycentres.

C’est au que s’ajoute l’idée d’éléments interchangeables par rapport au tout, c’est-à-dire d’éléments différents, opposés au sein de l’ensemble qu’ils composent, mais pourtant dans une certaine relation d’égalité entre eux sous réserve de certaines transformations géométriques .. C'est cette évolution qui va déboucher sur les notions géométriques élémentaires de symétries axiale et centrale.

De la cristallographie au principe de Curie Avec la naissance de la cristallographie à partir de la fin du s’impose un premier usage systématique et mathématisé des symétries. En combinant les trois opérations de rotation, translation et réflexion (« symétrie miroir »), la cristallographie va aboutir, jusqu’aux travaux d’Auguste Bravais en 1848, à une classification systématique de l’ensemble des cristaux existants à partir de leurs mailles conventionnelles, réparties en six familles et quatorze « types de réseaux » différents. En plus de fournir une nomenclature des formes possibles, cette classification géométrique a également permis de caractériser un certain nombre de propriétés optiques et mécaniques des solides cristallins.

Après ces premières réussites, le physicien français Pierre Curie propose d'étendre l’usage des arguments de symétrie à des considérations non plus seulement géométriques, mais à l’étude générale des phénomènes physiques eux-mêmes. Dans un article célèbre publié en 1894, il propose, à partir de l'exemple des phénomènes électriques et magnétiques dans les cristauxPiézoélectricité, pyroélectricité…, un vaste programme aux physiciens :

Il fait appel pour cela à la notion de groupe – concept mathématique naissant qui deviendra l'outil majeur pour l'usage des symétries en physique théorique : .Il énonce ici la propriété mathématique fondamentale des groupes : l'existence d'une loi de composition interne. Ainsi, un carré possède une symétrie de rotation d'un quart de tour. C'est-à-dire qu'il est invariant pour toute rotation multiple de 90°. Deux rotations successives de ce type (par exemple 90° et 180° – un demi-tour), feront encore une rotation multiple de 90° (trois-quarts de tour, en l’occurrence). Le carré restera donc invariant pour toute combinaison de ce type de rotations.

Il aboutit à deux conclusions importantes, baptisées depuis du nom de principe de Curie :

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Dans la conclusion 2, la seconde phrase n'est que la contraposée de la première. Curie souligne bien que leur réciproque, par contre, est fausse : la symétrie des effets n'implique pas la symétrie des causes, de même que la dissymétrie des causes n'implique pas la dissymétrie des effets. En résumé, un effet peut être « plus symétrique » que sa cause, mais il est au moins « autant symétrique » que celle-ci.

Symétrie en physique classique

On présente ici les différents contextes de la physique classique où la notion de symétrie est particulièrement importante. On présente la notion d'isotropie, appelée encore symétrie de rotation, ou encore d'homogénéité qui est liée à l'invariance par translation dans l'espace.

Symétrie et conservation

Le théorème de Noether établit que pour toute quantité conservée il existe une symétrie sous-jacente de la théorie, et réciproquement. Si l'on considère par exemple que les lois de la physique ne doivent pas dépendre du temps (symétrie de translation temporelle), alors l'énergie se conserve (et réciproquement) ; si l'on considère qu'elles ne doivent pas dépendre de la position dans l'espace (symétrie de translation spatiale), alors la quantité de mouvement se conserve (et réciproquement)

Types de symétrie Trois distinctions entre symétries apparaissent en physique : la distinction symétrie discrète/symétrie continue, qui renvoie à la structure mathématique du groupe utilisé pour décrire formellement la symétrie ; la distinction symétrie globale/symétrie locale, qui renvoie à la structure physique de la théorie en indiquant si la symétrie dont on parle peut être appliquée en chaque point de l'espace de façon indépendante ou non ; la distinction symétrie interne/symétrie d'espace-temps, qui renvoie à l'objet sur lequel la symétrie agit. S'il s'agit d'un objet physique, comme le champ électromagnétique par exemple, alors on parle de symétrie interne. Si la symétrie agit sur l'espace dans lequel les objets physiques baignent, alors on parle de symétrie d'espace-tempsCette distinction tend à devenir floue en relativité générale, où l'espace-temps lui-même acquiert le statut d'objet physique mais il reste quand même utile de distinguer entre les symétries qui agissent sur lui et celles qui agissent sur les autres objets physiques..

Symétrie discrète Une symétrie est dite discrète lorsque l'ensemble des opérations de transformation autorisées constitue un ensemble fini. Par exemple les cristaux possèdent le plus souvent un groupe de symétrie discret appelé groupe cristallographique. D'autres symétries discrètes sont importantes en mécanique quantique: il s'agit des symétries de conjugaison de charge, de parité et d'inversion du temps qui permettent d'exprimer le théorème CPT affirmant que toute théorie quantique doit être invariante sous le produit de ces trois symétries.

Symétrie continue De façon intuitive, une symétrie est dite continue lorsque les paramètres qui la déterminent varient de façon continue. C'est le cas de la symétrie de rotation qui est associée au groupe de rotations dans l'espace par exemple. Ce dernier est paramétré par les trois angles d'Euler qui varient en effet de façon continue.

La structure mathématique qui sous-tend la description des symétries continues est la théorie des groupes de Lie dont le groupe des rotations est un exemple.

Symétrie globale Une symétrie est globale, on dit encore rigide, si on effectue la même transformation en tous les points du système pour aboutir à une configuration équivalente. Par exemple la loi universelle de la gravitation de Newton qui s'exerce entre deux corps est inchangée lorsqu'on effectue une rotation ou une translation identique sur les deux corps. On dit donc que la loi de la gravitation universelle est invariante sous les transformations globales de rotation et de translation.

Symétrie locale Il arrive parfois qu'une théorie admette une symétrie bien plus poussée, autorisant à effectuer des transformations différentes en chaque point de l'espace. Dans ces cas, on parle alors de symétrie locale.

Le premier cas connu de symétrie locale est celui de l'électromagnétisme. En effet les équations de Maxwell sont inchangées lorsqu'on change simultanément le potentiel électrique par la dérivée par rapport au temps d'une fonction arbitraire et qu'on change le potentiel vecteur par le gradient de cette même fonction. Si cette fonction varie selon le temps et l'espace alors en chaque point on effectue bien une transformation différente. Pourtant les équations restent inchangées et les conclusions physiques restent les mêmes. La fonction arbitraire servant à construire ces transformations paramétrise le groupe de symétrie locale de l'électromagnétisme qui est notée mathématiquement .

Dans le cas qu'on vient de voir, la symétrie utilisée agissait sur les champs de la théorie, il s'agissait donc d'une symétrie interne et dans ce cas on parle d'invariance de jauge. L'électromagnétisme est donc un exemple de théorie de jauge.

Si on a affaire à une symétrie d'espace-temps, comme le cas des translations par exemple, les choses sont un peu plus compliquées d'un point de vue technique. Si la théorie est telle que cette symétrie est en plus locale, elle possède alors l'invariance par reparamétrisation de l'espace-temps, on parle encore de covariance générale, et il s'agit alors de la relativité générale. La loi universelle de la gravitation est invariante sous les transformations globales de translation mais pas locales. La relativité générale peut donc être vue comme l'extension de la gravité newtonienne pour laquelle on a agrandi l'ensemble des transformations sous lesquelles elle est invariante.

Les deux cas que nous avons vus correspondaient à des groupes de symétrie discrets. Un cas plus exotique est celui de la construction d'orbifolds en théorie des cordes qui permet de construire des exemples de symétrie locale pour une symétrie discrète.

Exemples de symétries courantes Symétrie de translation

Appelée aussi invariance sous les translations, cette symétrie dit que les lois physiques (relativité, gravité, électromagnétisme…) restent les mêmes en tout point de l'univers.

Symétrie de rotation

Cette symétrie, appelée aussi invariance sous les rotations ou isotropie, désigne la caractéristique topologique d'une théorie ou d'un système physique qui n'est pas transformé par une rotation. L'objet le plus symétrique, sur ce point de vue, est la sphèreNous parlons ici d'une sphère mathématique, en langage courant, on peut la comprendre comme une sphère parfaite car, elle reste mathématiquement inchangée par n'importe quelle rotation.

Aspects mathématiques de la notion de symétrie

Formalisation générale : groupe et algèbre de Lie

Intégrabilité