Les coordonnées de Boyer-Lindquist sont un système de coordonnées d'espace-temps utilisées pour écrire la métrique du trou noir de Kerr ou d'un trou noir de Kerr-Newmann. Elles généralisent les coordonnées de Schwarzschild : elles sont singulières à l'horizon des événements du trou noir. Elles minimisent le nombre des composantes hors diagonale de la métrique. Elles sont adaptées aux symétries du trou noir : sa stationarité et sa symétrie axiale.
Présentation La notation usuelle des coordonnées est ou avec : , , , .
L'espace-temps de Kerr a quatre dimensions et, étant stationnaire, axisymétrique et asymptotiquement plat, il est circulaire. Pour un tel espace-temps, il existe un système de coordonnées tel que : .
Étant stationnaire et axisymétrique, l'espace-temps de Kerr admet deux champs de vecteurs de Killing qui commutent : et , respectivement associés à la stationnarité et à la symétrie axiale. Les coordonnées de Boyer-Lindquist sont construites de sorte que les composantes et de et soient et . Ainsi les produits scalaires des vecteurs de Killing sont donnés par les composantes de la métrique : .
Le changement de coordonnées des coordonnées de Boyer-Lindquist vers les coordonnées cartésiennes , est donné par : , , , où est le rapport entre le moment angulaire et la masse : (voir trou noir de Kerr pour plus de détails).
Les coordonnées de Boyer-Linquist sont adaptées à un feuilletage d'un espace-temps axisymétrique. Elles permettent d'exprimer la métrique sous la forme : .
La représentation matricielle des coefficients de la métrique est ainsi :
est la fonction . est le vecteur .
Dans l'expression d'une métrique en coordonnées de Boyer-Lindquist, on trouve un paramètre et des fonctions.
est le paramètre de Kerr. Il est défini par où est la masse et est le moment cinétique ; et est homogène à une longueur.
Deux principales fonctions et sont deux fonctions qui apparaissent dans l'expression d'une métrique en coordonnées de Boyer-Lindquist. Par construction de celles-ci, la métrique est singulière pour ou .
est une fonction des deux coordonnées et : . Elle est donnée par : , tant pour la métrique de Kerr que pour celle de Kerr-Newman. Elle est définie de sorte que les composantes et s'annulent pour . C'est le cas pour .
est une fonction de la coordonnée : . Elle est définie de sorte que la composante devienne singulière pour . C'est le cas pour et . Les surfaces de coordonnées sont deux horizons. La surface de coordonnée est l'horizon des événements du trou noir ; celle de coordonnée est son horizon de Cauchy.
Troisième fonction Une troisième fonction apparaît souvent dans l'expression d'une métrique en coordonnées de Boyer-Lindquist. Elle est notée . Dans le cas de la métrique de Kerr, elle est définie par : . Il en est de même dans le cas de la métrique de Kerr-Newman.
Autres fonctions , et sont trois autres fonctions qui apparaissent dans l'expression d'une métrique en coordonnées de Boyer-Lindquist.
est la fonction déjà rencontrée. est le rayon cylindrique : est la circonférence d'un cercle autour de l'axe de symétrie. est la vitesse angulaire des ZAMOs : . Dans le cas de la métrique de Kerr :
.
Les composantes de la métrique sont reliées aux fonctions. Dans le cas de la métrique de Kerr :
. .
Histoire Les éponymes des coordonnées de Boyer-Lindquist sont Robert Boyer (-) et Richard W. Lindquist.
Notes et références
Notes
Références
Voir aussi
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Shapiro, S. L. and Teukolsky, S. A. Black Holes, White Dwarfs, and Neutron Stars: The Physics of Compact Objects. New York: Wiley, , 1983. . . . . . . . .
Dictionnaires et encyclopédies
Liens externes .
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