En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens orientés de dimension 3Tous les espaces vectoriels euclidiens orientés de dimension 3 sont deux à deux isomorphes ; l'isomorphisme est une isométrie bien définie à composition près par une rotation.Il est en fait possible de définir une opération ayant des propriétés analogues dans des espaces de dimension 7 ; voir « Produit vectoriel en dimension 7 ».On peut aussi définir le produit vectoriel de n-1 vecteurs dans un espace vectoriel euclidien orienté de dimension n.. Le formalisme utilisé actuellement est apparu en 1881 dans un manuel d'analyse vectorielle écrit par Josiah Willard Gibbs pour ses étudiants en physique. Les travaux de Hermann Günther Grassmann et William Rowan Hamilton sont à l'origine du produit vectoriel défini par Gibbs.Jean-Paul Collette, Histoire des mathématiques, t. 2, Vuibert, 1979 , ..
Histoire Résumé La mise en place de la notion de produit vectoriel prend son essor dans la deuxième moitié du , même si Lagrange utilise en 1773 des grandeurs assimilables aux composantes du produit vectoriel de deux vecteurs. Cette utilisation reste cependant limitée à un usage ponctuel, réimprimé dans . En 1843, Hamilton invente les quaternions qui permettent d'introduire naturellement le produit vectoriel. Indépendamment et à la même période (1844), Grassmann définit dans un « produit géométrique » à partir de considérations géométriques ; mais il ne parvient pas à définir clairement un produit vectoriel. Puis Grassmann lit Hamilton et s'inspire de ses travaux pour publier en 1862 une deuxième version de son traité plus aboutie, 1986, .. De même, Hamilton lit les travaux de Grassmann, les commente et les apprécie.. Plus tard Maxwell commence à utiliser la théorie des quaternions pour l'appliquer à la physique. Après Maxwell, Clifford modifie profondément le formalisme de ce qui devenait l'analyse vectorielle. Il s'intéresse aux travaux de Grassmann et Hamilton avec une nette préférence pour le premier. Dans son ouvrage (1878), Clifford définit le produit vectoriel de deux vecteurs comme un vecteur orthogonal aux deux vecteurs et dont la grandeur est égale à l'aire du parallélogramme formé par les deux vecteurs. En 1881, Gibbs publia s'inspirant des travaux déjà réalisés, notamment ceux de Clifford et Maxwell. Si les physiciens se sont empressés d'utiliser le formalisme de Gibbs, celui-ci ne fut accepté en mathématiques que bien plus tard, et après plusieurs modifications.
Anecdote Peter Guthrie Tait, dans la préface de la troisième édition de son traité sur les quaternions, qualifie le nouveau formalisme créé par Gibbs de .
Notation Plusieurs notations sont en concurrence pour le produit vectoriel : En France, le produit vectoriel de et de est noté , où le symbole se lit vectoriel (wedge en anglais). Cette notation a été introduite par Cesare Burali-Forti et Roberto Marcolongo en 1908.. Son inconvénient est d'entrer en conflit avec la notation du produit extérieur ; Dans la littérature anglophone et allemande (ainsi qu'au Canada francophone, en Suisse, et parfois en Belgique), le produit vectoriel est noté . Cette notation est due à Josiah Willard Gibbs.. Son inconvénient est d'induire une confusion éventuelle avec le produit des réels et le produit cartésien, mais ces produits ne portent pas sur des objets de même natureUn autre inconvénient est que le produit vectoriel n'est ni associatif, ni commutatif, mais c'est aussi le cas des « produits » dans les algèbres non associatives. ; Une troisième notation, privilégiée par exemple par Arnold, est l'utilisation des crochets de Lie : Voir section Définition #Comme produit de Lie..
Dans cet article, la première convention sera utilisée (avec ou sans flèches sur les vecteurs).
Définition
droite|Produit vectoriel
Soit un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3. Par le choix d'une base orthonormée, peut être identifié avec l'espace , mais cette identification n'est pas obligatoire pour définir le produit vectoriel.
D'un point de vue géométrique,
alt=Animation : Module du produit vectoriel et parallélogramme des vecteurs|vignette|Le produit vectoriel (bleu) est perpendiculaire aux deux vecteurs (rouge) et son module est égal à l'aire du parallélogramme défini par ces deux derniers. En particulier : deux vecteurs sont colinéaires si (et seulement si) leur produit vectoriel est nul ; deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si la norme de leur produit vectoriel est égale au produit de leurs normes ; le module du produit vectoriel est égal à l'aire du parallélogramme défini par les deux vecteurs et .
La notion d'orientation peut ici être appréhendée de manière élémentaire en utilisant la règle de la main droite : le pouce, l'index et le majeur écartés en un trièdre indiquent respectivement le sens de , de et de . Cette méthode, utilisée dans l'enseignement secondaire, n'est pas totalement satisfaisante, mais reste une approche adaptée aux applications, en particulier en physique (voir l'article orientation (mathématiques) pour une approche plus théorique).
Définition par le produit mixte
Une seconde définitionL'équivalence entre cette définition et la précédente est démontrée, par exemple, utilise la théorie des déterminants et la notion de produit mixte comme point de départ. Le produit mixte de trois vecteurs , , , noté , est le déterminant de ces trois vecteurs dans une base orthonormée directe (BOND) quelconque. La formule de changement de base montre que ce déterminant est indépendant du choix de la base directe ; géométriquement il est égal au volume orienté du parallélépipède appuyé sur les vecteurs , , .
Le produit vectoriel s'interprète comme les variations du volume orienté d'un parallélépipède en fonction du troisième côté.
Avec une telle définition, il est possible de définir, dans un espace vectoriel orienté de dimension , le produit vectoriel de vecteurs.
Cette définition se reformule en recourant à la notion d'espace euclidien. Le produit vectoriel est alors le vecteur dual de la forme linéaire , donné par le théorème de représentation de Riesz.
Calcul en composantes
vignette|Une méthode pour calculer le produit vectoriel grâce aux composantes. Le choix arbitraire d'une base orthonormée directe donne une identification de l'espace vectoriel avec . Notons les coordonnées et .
Leur produit vectoriel est donné parPour une démonstration, voir par exemple : .
Cette troisième définition, puisqu'elle est équivalente aux deux précédentes, est indépendante, malgré les apparences, du choix de la base orthonormée directe dans laquelle on calcule les coordonnées.
Propriétés Propriétés algébriques Le produit vectoriel est un produit distributif, anticommutatif : Distributivité par rapport à l'addition : , Compatibilité avec la multiplication par un scalaire : . Ces deux propriétés font du produit vectoriel une application bilinéaire, et confèrent à une structure d'algèbre.
Anticommutativité, ou antisymétrie : . Ces propriétés découlent immédiatement de la définition du produit vectoriel par le produit mixte et des propriétés algébriques du déterminant. Il n'est pas associatif — c'est-à-dire qu'en général n'est pas égal à — et plus précisément, il vérifie les égalités du double produit vectoriel : .
Il vérifie par conséquent l'identité de Jacobi, ce qui en fait un crochet de Lie :
En partant de et de , on obtient l'égalité :
ce qui donne, en passant aux coordonnées, l'identité de Lagrange :
Applications Les premières propriétés algébriques ci-dessus (bilinéarité et formule du double produit vectoriel) fournissent une solution au problème de la division vectorielle , où l'inconnue est le vecteur et les données sont les deux vecteurs et , en supposant non nul et orthogonal à (sans quoi la résolution est instantanée). En effet, de , on déduit que est une solution. Or le noyau de l'application linéaire est la droite vectorielle , donc l'ensemble des solutions de cette équation linéaire est . En développant le quadruple produit vectoriel de deux façons, on obtient une relation de dépendance linéaire entre les quatre vecteurs : .
Invariance par isométries Le produit vectoriel est invariant par l'action des isométries vectorielles directes. Plus exactement, pour tous vecteurs et de et pour toute rotation de , on a :
Cette identité peut être prouvée différemment suivant l'approche adoptée :
Définition géométrique : L'identité est immédiate avec la première définition, car préserve l'orthogonalité, l'orientation et les longueurs.
Produit mixte : L'isomorphisme linéaire laisse invariant le produit mixte de trois vecteurs. En effet, le produit mixte de , , peut être calculé dans l'image par de la base orthonormée directe dans laquelle le produit mixte de , et est calculé. De fait, l'identité précédente s'obtient immédiatement : , où parcourt tout l'espace vectoriel quand le parcourt puisque est une bijection, d'où l'égalité souhaitée.
Définitions alternatives Comme produit de Lie
Toute isométrie directe de est une rotation vectorielle. L'ensemble des isométries directes forme un groupe de Lie classique noté (autrement dit, un sous-groupe fermé de . Son algèbre de Lie, notée est la sous-algèbre de Lie de définie comme l'espace tangent de en l'identité. Un calcul direct montre qu'il est l'espace des matrices antisymétriques de taille 3. Cet espace est a fortiori stable par le crochet de Lie.
Toute matrice antisymétrique de taille 3 s'écrit de manière unique :
En identifiant et le vecteur , on définit un isomorphisme linéaire entre et . Le crochet de Lie se transporte via cet isomorphisme, et hérite d'une structure d'algèbre de Lie. Le crochet de deux vecteurs est précisément le produit vectoriel de et de .
En effet, si et , leur crochet se calcule en introduisant les matrices antisymétriques correspondantes et : . Le vecteur correspondant, à savoir , a donc pour coordonnées . Cette approche redéfinit donc le produit vectoriel.
Si on suit cette approche, il est possible de prouver directement l'invariance du produit vectoriel par les isométries directes.
En tant qu'algèbres de Lie, a été identifié à . L'action (linéaire) de sur s'identifie à l'action par conjugaison sur . opère donc par automorphisme d'algèbres de Lie. Autrement dit, l'identité ci-dessus est vérifiée.
Comme produit de quaternions imaginaires Il est possible de retrouver produit vectoriel et produit scalaire à partir du produit de deux quaternions purs. Pour rappel, le corps (non commutatif) des quaternions H est l'unique extension de de dimension 4. Sa base canonique est où le sous-espace engendré par , et forme l'espace des quaternions purs, canoniquement identifié avec . Ces éléments vérifient :
Si et , le produit se calcule immédiatement :
La partie réelle est au signe près le produit scalaire de et de ; la partie imaginaire est un quaternion pur qui correspond au produit vectoriel, après identification avec .
Cette coïncidence trouve ses explications dans le paramétrage du groupe par les quaternions unitaires.
Il est de nouveau possible de justifier l'invariance par isométrie. Toute isométrie de l'espace des quaternions imaginaires s'écrit comme la conjugaison par un quaternion unitaire. Si est un quaternion unitaire, et , sont des quaternions imaginaires, il suffit de constater :
pour en déduire l'invariance par isométrie du produit vectoriel.
Par le produit tensoriel
Soient deux vecteurs et dont les 3 coordonnées dans une base orthonormée directe sont notées respectivement et . On peut définir le tenseur dont les 9 coordonnées sont :
ce qui, en notation tensorielle, s'écrit simplement .
Ce tenseur peut se décomposer en la demi-somme de deux tenseurs, l'un complètement symétrique qui a 6 coordonnées indépendantes données par , et l'autre complètement anti-symétrique qui a 3 coordonnées indépendantes données par .