En mathématiques, les nombres multicomplexes de symbole () constituent une famille d’algèbres hypercomplexes associatives et commutatives de dimension sur . Ils ont été introduits par Norbert Fleury en 1993.
Définition
Soit un élément tel que et tel que soit une famille libre : est alors défini comme l’algèbre réelle générée par cette famille.
Propriétés algébriques
Chaque algèbre est un cas particulier d’. Comme , chaque algèbre est canoniquement isomorphe à l’ . Tout nombre multicomplexe de pseudo-norme non nulle peut s’écrire sous forme polaire : .
Sommes directes et produits tensoriels
Chaque algèbre est isomorphe à une somme directe impliquant et : si est pair :
si est impair :
ce que l’on peut écrire de manière compacte : . Il s’ensuit immédiatement que : si et ne sont pas simultanément impairs, ; si et sont simultanément impairs, . En utilisant les propriétés précédentes, la distributivité du produit tensoriel d'algèbres par rapport à la somme directe et l’isomorphisme , on démontre alors aisément que .
Isomorphisme avec les nombres multicomplexes de Segre
.
Sous-algèbres
. . D’où . .
Cas particulier : 𝓜ℂ
Au , après que l’idée de représenter les nombres complexes sous la forme géométrique d’un plan 2D a été avancée, les mathématiciens ont cherché à étendre la notion de complexe à l’espace 3D, mais sans succès. C’est finalement en abandonnant l’égalité du nombre de dimensions entre l’algèbre hypercomplexe cherchée et l’espace géométrique que les quaternions, de dimension 4, et leurs liens avec les rotations dans l’espace ont été découverts. Malgré le succès des quaternions, les recherches d’une algèbre hypercomplexe de dimension 3 exhibant des propriétés similaires aux opérations géométriques dans l’espace ont continué, plusieurs auteurs arrivant finalement et indépendamment à l’algèbre ou l’un de ses isomorphes triviaux.
Voir aussi
Bibliographie
Notes et références
Notes
Références
Multicomplexe