La lemniscate de Bernoulli est une courbe plane unicursale. Elle porte le nom du mathématicien et physicien suisse Jacques Bernoulli.
Histoire La lemniscate de Bernoulli fait partie d'une famille de courbes décrite par Jean-Dominique Cassini en 1680, les ovales de Cassini. Jacques Bernoulli la redécouvre en 1694 au détour de travaux sur l'ellipse., et la baptise . Le problème de la longueur des arcs de la lemniscate est traité par Giulio Fagnano en 1750.
Définition géométrique vignette|Une lemniscate de Bernoulli. Une lemniscate de Bernoulli est l'ensemble des points vérifiant la relation :
où et sont deux points fixes et leur . Les points et sont appelés les foyers de la lemniscate, et son centre.
Alternativement, on peut définir une lemniscate de Bernoulli comme l'ensemble des points vérifiant la relation :
La première relation est appelée « équation bipolaire », et la seconde « équation tripolaire ».
La courbe ainsi définie fait partie de la famille des lemniscates (courbes en forme de 8), dont elle est l'exemple le plus connu et le plus riche en propriétés. Pour sa définition, elle est l'exemple le plus remarquable d'ovale de Cassini. Elle représente aussi la section d'un tore particulier par un plan tangent intérieurement.
Équations dans différents systèmes de coordonnées Au moyen de la demi-distance focale Posons . En coordonnées polaires (l'axe polaire étant ), la lemniscate de Bernoulli admet pour équation :
En coordonnées cartésiennes (l'axe des abscisses étant ), la lemniscate de Bernoulli a pour équation (implicite) :
L'abscisse décrit l'intervalle (les bornes sont atteintes pour ). L'ordonnée décrit l'intervalle (les bornes sont atteintes pour ).
Il est possible d'expliciter en fonction de :
mais il est généralement plus pratique de manipuler l'équation implicite que d'utiliser cette expression explicite de .
Représentations paramétriques En partant de l'équation en coordonnées polaires on peut représenter la lemniscate de Bernoulli par les deux équations suivantes, en prenant pour paramètre l'angle polaire :
Cette représentation présente cependant le défaut que pour parcourir une fois la lemniscate il faut faire varier de à puis de à , une variation qui n'est pas continue ni monotone.
Une meilleure représentation paramétrique est donnée par :
La lemniscate est parcourue une fois en faisant varier de à . Le paramètre est directement relié à l'angle polaire par la relation , ou .
On peut aussi convertir la représentation précédente, trigonométrique, en une représentation paramétrique rationnelle :
La lemniscate est parcourue une fois en faisant varier de à . Le paramètre est directement relié à l'angle par la relation .
Au moyen du demi-axe La plupart des équations précédentes sont un peu plus simples et naturelles si l'on pose (demi-axe de la lemniscate).
En coordonnées polaires (l'axe polaire étant ), la lemniscate de Bernoulli admet pour équation :
En coordonnées cartésiennes (l'axe des abscisses étant ), la lemniscate de Bernoulli a pour équation (implicite) :
L'abscisse décrit l'intervalle (les bornes sont atteintes pour ). L'ordonnée décrit l'intervalle (les bornes sont atteintes pour ). La demi-distance focale est
Il est possible d'expliciter en fonction de :
mais il est généralement plus pratique de manipuler l'équation implicite que d'utiliser cette expression explicite de .
Représentations paramétriques En partant de l'équation en coordonnées polaires on peut représenter la lemniscate de Bernoulli par les deux équations suivantes, en prenant pour paramètre l'angle polaire :
Cette représentation présente cependant le défaut que pour parcourir une fois la lemniscate il faut faire varier de à puis de à , une variation qui n'est pas continue ni monotone.
Une meilleure représentation paramétrique est donnée par :
La lemniscate est parcourue une fois en faisant varier de à . Le paramètre est directement relié à l'angle polaire par la relation , ou .
On peut aussi convertir la représentation précédente, trigonométrique, en une représentation paramétrique rationnelle :
La lemniscate est parcourue une fois en faisant varier de à . Le paramètre est directement relié à l'angle par la relation .
Propriétés Longueur La longueur de la lemniscate de Bernoulli vaut :
où désigne la moyenne arithmético-géométrique de deux nombres et , est une intégrale elliptique de première espèce et est la fonction gamma.
Superficie
L'aire délimitée par la lemniscate de Bernoulli vaut :
Quadrature de la lemniscate : impossible pour le cercle, la quadrature exacte est possible pour la lemniscate de Bernoulli. Son aire est en effet égale à celle de deux carrés égaux (le côté des carrés étant la distance entre le centre et un foyer de la lemniscateCette distance OF = OF' est aussi égale au petit diamètre de Féret de la lemniscate, c.-à-d. à son épaisseur perpendiculairement à la direction F'OF.). Cette aire est aussi égale à l'aire d'un carré dont le côté est la distance séparant le centre d'un sommet de la lemniscate.
Familles de courbes La lemniscate de Bernoulli est un cas particulier d'ovale de Cassini, de lemniscate de Booth, de spirale sinusoïdale et de spirique de Persée.
vignette|La podaire d'une hyperbole équilatère (en bleu) est une lemniscate de Bernoulli (en rouge). Relation avec l'hyperbole équilatère
La podaire d'une hyperbole équilatère par rapport à son centre est une lemniscate de Bernoulli.
Relation avec les triangles
Pour deux points B et C et un angle α aigu fixe, une lemniscate de Bernoulli est le lieu des points A tels que, dans le triangle ABC, la médiane issue de A et sa symédiane forment un angle α ; le centre de la lemniscate est alors le milieu de [BC].
Le symbole de l'infini ? La lemniscate de Bernoulli est souvent considérée comme une courbe qui se parcourt sans fin. Cette caractéristique de la lemniscate serait à l'origine du symbole de l'infini, ∞, mais une autre version vient contredire cette hypothèse, l'invention du symbole étant attribuée au mathématicien John Wallis, contemporain de BernoulliJohn Wallis, De sectionibus conicis nova methodo expositis tractatus (1655), section I, Prop.1, p. 4..
Notes et références Notes
Références
Voir aussi
Fonction lemniscatique
Liens externes Coup d’œil sur la lemniscate de Bernoulli, sur le site du CNRS. Lemniscate de Bernoulli, sur MathCurve.
Catégorie:Courbe algébrique Catégorie:Courbe Catégorie:Jacques Bernoulli