vignette|Les lignes bleues représentant les gradients de couleur, du plus clair au plus foncé. L'opérateur divergence permet de calculer, localement, la variation de ce gradient de couleur vignette|Illustration de la divergence d'un champ vectoriel, ici champ de vitesse converge à gauche et diverge à droite.
En géométrie, la divergence d'un champ de vecteurs est un opérateur différentiel mesurant le défaut de conservation du volume sous l'action du flot de ce champ.
L'opérateur divergence est un outil d'analyse vectorielle qui mesure, pour faire simple, si un champ vectoriel « entre » ou « sort » d'une zone de l'espace, comme ce que l’on peut observer sur un diagramme de lignes de champ. Il donne donc une information très liée aux sources qui créent le champ. Les équations de continuité permettent de comprendre intuitivement cette notion : la divergence mesure en effet localement les variations de densité de flux. On retrouve cette grandeur, macroscopiquement cette fois, dans les valeurs de diffusion de particule ou de chaleur par exemple. Ainsi, en un point, si la divergence est nulle, alors la densité ne varie pas ; si elle est positive en ce point, alors il y a diffusion.
En mécanique des fluides, si un fluide rentre dans un tube compressible avec davantage de force qu'il n'en sort à l'autre extrémité, le tube aura tendance à voir sa pression interne augmenter, et donc aussi son volume. La divergence ne caractérise cependant pas le comportement du tube, mais bien les caractéristiques du flux de matière, susceptibles d'influer sur le volume traversé.
Plus précisément, soit la trajectoire du champ X issue de x.
Ces trajectoires s'organisent en une famille de transformations (le flot de X), et pour tout domaine D on a
Un champ à divergence nulle est un champ qui conserve le volume, tel le champ des vecteurs vitesse d'un écoulement incompressible.
Ainsi, div X est une fonction à valeurs réelles qui mesure la variation première du volume le long des trajectoires dudit champ.
En raison de son utilisation dans les calculs de flux de champ de vecteurs, la divergence intervient en physique pour exprimer des lois de conservation ainsi que pour la formulation locale des lois physiques faisant intervenir un champ suivant une loi en carré inverse de la distance. La divergence est notamment utilisée dans les équations de la mécanique des fluides ou les équations de Maxwell.
Des définitions plus précises sont données dans le corps de l'article.
Divergence d'un champ de vecteurs L'opérateur divergence est un opérateur différentiel linéaire de degré 1, défini sur les champs de vecteurs et à valeurs dans les fonctions.
Définition en dimension 3 En dimension 3 et en coordonnées cartésiennes, la divergence d'un champ de vecteurs a pour expressionJ.-P. Pérez et al., Électromagnétisme. Fondements et applications, , Masson, Paris, 1997, pages 612-617.
Formellement, l'opérateur divergence appliqué à un champ vectoriel peut s'interpréter comme produit scalaire du vecteur nabla par le vecteur .
Cette définition a le désavantage d'être dépendante du choix d'une base orthonormée.
Interprétation heuristique concernant la variation du volume Le flot du champ A est approximativement (pour t petit) donné par
Le volume de l'image par d'un « petit » pavé de centre (x,y,z) est multiplié par le déterminant de la matrice jacobienne de . Mais la dérivée par rapport à t de ce déterminant, pour t=0 est précisément
Justification rigoureuse de l'interprétation Elle utilise les formes différentielles. Dans le volume d'un domaine s'obtient en intégrant sur ce domaine la forme différentielle . Soit le flot du champ A.
La variation infinitésimale du volume est alors
C'est par définition la dérivée de Lie : de .
On vérifie que
(voir plus bas la démonstration en dimension n de cette identité).
En particulier, le flot de conserve le volume (c’est-à-dire pour tout domaine de ) si et seulement si la divergence est partout nulle. Le volume augmente si la divergence est positive, diminue si elle est négative.
Ce calcul montre aussi que la divergence ne dépend pas de la structure euclidienne de l'espace, mais seulement de l'élément de volume.
Exemples La divergence du champ (champ radial) est constante (égale à 3) (le flot de ce champ est formé d'homothéties, qui multiplient les volumes par une constante).
La divergence du champ est nulle (son flot est formé de rotations).
En mécanique des fluides, on dit qu'un fluide est en écoulement incompressible si la divergence du champ des vitesses vaut zéro.
Interprétation concernant le flux La divergence peut être définie à partir du flux d'un champ de vecteur. Si est un domaine relativement compact de , dont le bord est une surface lisse , le flux de à travers est égal à l'intégrale sur de la divergence. Explicitement
Dans la dernière intégrale, est le vecteur unitaire normal sortant de , et est l'élément d'aire de la surface . Cette égalité est valable en toute dimension, et s'étend aux domaines à bord des variétés riemanniennes orientées. Elle est connue sous le nom de théorème de Green-Ostrogradski (en dimension 3) ou théorème de flux-divergence, qui est l'une des nombreuses variantes du théorème de Stokes
Divergence en dimension n Cette définition et ses propriétés s'étendent aux champs de vecteurs sur . Si est un tel champ de vecteurs, on pose
Pour , on a encore , d'où son lien avec le principe de (non)conservation du volume n-dimensionnel.
Exemple. Pour le champ linéaire donné par
la divergence est la trace de la matrice .
Propriétés
Utilisation en physique Lois de conservation thumb|Illustration représentant un volume intérieur à la surface fermée dont la normale extérieure en tout point est . D'une manière générale, la divergence est reliée en physique à l'expression locale de la propriété de conservation d'une grandeur. En considérant une surface fermée quelconque , la variation d'une grandeur conservative dans le volume défini par cette surface est, par définition d'une grandeur conservative, due aux échanges avec l'extérieur (il n'existe pas de sources de création ou d'annihilation d'une grandeur conservative). Le bilan de cette grandeur entre deux instants s'écrit donc uniquement comme la somme du flux de cette grandeur à travers la surface fermée et de la variation temporelle de la grandeur à l'intérieur de la surface . Si la grandeur est conservative, ce bilan est nul.
Par exemple, en électromagnétisme, si est le vecteur densité volumique de courant, la densité volumique de charge électrique et le volume intérieur à la surface , la forme intégrale de la conservation de la charge s'écrit :
ou encore, pour une surface fixe :
où est un vecteur unitaire normal en tout point à .
La formule de Green-Ostrogradsky permet de réécrire l'équation précédente :
Ce qui mène à la relation locale de conservation :
Il est ainsi également possible d'exprimer localement, par exemple dans le cadre de la mécanique des fluides, si est la masse volumique en un point et le champ des vecteurs vitesse : (équation de continuité).
D'autres lois de conservation font intervenir la divergence de tenseurs d'ordre 2, comme la conservation de la quantité de mouvement en mécanique des fluides. En relativité générale, on montre aussi la nullité de la divergence du tenseur énergie-impulsion.
Champs radiaux en carré inverse de la distance Lorsqu'une loi d'interaction radiale, due à des sources ponctuelles, varie comme le carré inverse de la distance il est possible d'établir que le flux du champ d'interaction à travers une surface fermée est toujours proportionnel à la quantité de sources présentes à l'intérieur de la surface fermée. Ce type de relation porte généralement en physique le nom de théorème de Gauss. Par exemple, dans le cas du champ électrostatique , dû aux charges électriques présentes à l'intérieur de la surface fermée on a la forme intégrale du théorème de Gauss suivante :
Grâce au théorème de flux-divergence il est possible d'exprimer une forme locale du théorème de Gauss. L'équation précédente se réécrit :
si est le volume délimité par et la densité volumique de charge. On obtient alors immédiatement :
qui est la forme locale du théorème de Gauss. Ce type de relation est également possible pour le champ de gravitation :
où est la constante fondamentale de la gravitation, le champ de gravitation et la masse volumique.
Flux du champ magnétique En électromagnétisme il est possible de montrer, à partir de la loi de Biot et Savart, que la divergence du champ magnétique est nulleDans le formalisme des équations de Maxwell, la nullité de la divergence du champ magnétique n'est pas une conséquence mais un postulat (loi de Maxwell-Thomson). :
Cette propriété intrinsèque du champ magnétique permet d'établir que le flux du champ magnétique à travers une surface fermée est toujours nul ; on dit que le champ magnétique est à flux conservatif. En effet, si on appelle la surface fermée considérée et le volume intérieur à cette surface, on a :
Expression de la divergence en dimension 3 dans d'autres systèmes de coordonnées En coordonnées cylindriques
En coordonnées sphériques En choisissant pour convention les notations physiques (conformément au standard ISO 31-11), soit
Notes et références Notes
Références
Voir aussi
Bibliographie Yvonne Choquet-Bruhat et Cécile DeWitt-Morette, Analysis, Manifolds & Physics - Part I: Basics, North-Holland/Elsevier ( révisée - 1982) , Électromagnétisme I, ch. 2 et 3, InterEditions
François Rouvière, Petit guide de calcul différentiel à l'usage de la licence et de l'agrégation, Cassini, 1999
Articles connexes Divergence d'un tenseur Rotationnel, gradient, nabla, laplacien Dérivée partielle, équation aux dérivées partielles Opérateur différentiel Théorème de Stokes Équations de Maxwell, équations de Navier-Stokes
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