En mathématiques, plus précisément en arithmétique modulaire, le dernier théorème de Fermat traite des racines de l'équation diophantienne suivante, d'inconnues , et :
Il affirme qu'il n'existe aucune solution non triviale si le paramètre n est strictement supérieur à 2.
Une équation diophantienne est une équation à coefficients entiers dont les solutions recherchées sont entières. Si, comme dans l'exemple ci-dessus, l'expression est souvent simple, la résolution s'avère en général ardue.
Pierre de Fermat énonce ce résultat dans la marge de son exemplaire du livre Arithmetica de Diophante et y indique qu'il en a trouvé une ..
Il est peu probable qu'une démonstration accessible à Fermat existe. En effet, il fallut de nombreuses tentatives ainsi que près de 350 ans d'efforts pour qu'une preuve en soit donnée en 1994, par Andrew Wiles. thumb|Pierre de Fermat.
Généralités et cas élémentaires Remarques Si l'un des trois entiers x, y ou z est nul, alors l'équation devient évidente ; de telles solutions sont dites triviales. L'objectif est donc la recherche d'un triplet solution tel que le produit xyz soit non nul.
L'équation est homogène, c'est-à-dire que pour une valeur n donnée, si le triplet (x, y, z) est solution, alors (ax, ay, az) est aussi solution. En conséquence, les seules racines recherchées sont les triplets d'entiers premiers entre eux dans leur ensemble.
Pour toute solution, le PGCD de deux quelconques des trois entiers est un diviseur du troisième. Les racines auxquelles on s'est restreint sont donc les triplets (x, y, z) tels que (par exemple) x et y soient premiers entre eux.
Si l'équation n'admet pas de solution pour une valeur p du paramètre, alors il n'existe pas de solution pour toute valeur n multiple de p. En effet, si l'on note n = pq alors l'équation s'écrit :
En conséquence, les valeurs à traiter sont celles où n est un nombre premier. Il est toutefois à noter l'unique exception, correspondant au cas n = 2, cas dans lequel des solutions existent ; il est donc nécessaire d'étudier aussi le cas n = 4 (ce qui réglera le cas des nombres composés puissances de 2, puisqu'ils sont de la forme 4 × 2k avec k ⩾ 0).
Résultats sans appel à la théorie des nombres Quelques résultats se démontrent sans concepts supplémentaires. Le cas n = 2, traité à la suite, est simple et date de l'Antiquité. Celui où n est égal à 4 se démontre de manière un tout petit peu moins élémentaire. Les cas restants sont ceux où n est premier différent de 2. Il existe une démonstration qui n'utilise pas les entiers d'Eisenstein pour le cas n = 3 ; elle est néanmoins suffisamment astucieuse et difficile pour que le mathématicien Leonhard Euler ne propose qu'une démonstration inexacte.
Les autres cas sont techniques ; l'utilisation d'entiers algébriques est indispensable. Le premier terme est bien une identité remarquable : xn + yn est en effet un multiple de x + y si n n'est pas une puissance de 2. Cependant, cette remarque est largement insuffisante pour conclure, ne serait-ce que pour un exposant.
thumb|Le théorème de Pythagore: a + b = c Cas où n est égal à deux
Le cas n = 2 possède une interprétation géométrique. Il correspond aux longueurs entières des trois côtés d'un triangle rectangle.
Ce cas est connu depuis la plus haute Antiquité. Ainsi, les Sumériens connaissaientTablette Plimpton 322, vers -1800. quelques exemples de solutions. La solution complète apparaît pour la première fois dans le livre X des Éléments d'Euclide vers 300 av. J.-C.
Ce cas est l'unique exception du théorème (si l'on omet le cas n = 1). En effet, pour n = 2, il existe des solutions non triviales, appelées les triplets pythagoriciens, comme la solution (3, 4, 5). En conséquence, il devient important de considérer le cas n = 4, pour démontrer qu'il n'existe pas d'autre puissance de 2 admettant des solutions non triviales.
Cas où n est égal à quatre
Dans tout l'œuvre mathématique laissé par Fermat, on ne trouve qu'une démonstration : la preuve de ce cas., sous une formulation différente. Il démontre en effet qu'il n'existe aucun triplet pythagoricien (x, y, z) tel que xy/2 soit un carré d'entier, ce qu'il exprime par . Comme ce résultat équivaut à l'absence de solutions entières non triviales pour l'équation a – b = c, le cas n = 4 en est un corollaire immédiat. Pour cette raison, on considère très généralement que Fermat a démontré ce casR. Nogues, Théorème de Fermat. Son histoire Paris, Librairie Vuibert, 1932.Cette information est reprise par exemple dans la page Fermat's Last Theorem: n = 4 du blog Fermat's Last Theorem de Larry Freeman..
La méthode utilisée est celle de la descente infinie. Elle consiste à trouver un autre triplet solution dont le troisième entier est positif et strictement plus petit que celui de la solution initiale. Il est ainsi possible de descendre indéfiniment dans l'ensemble des entiers positifs, ce qui est contradictoire avec les propriétés de ℕ.
Deux preuves complètes et nouvelles proviennent de Leonhard Euler, traduction en allemand sur (théorème 1, corollaire 1 et théorème 2). ; elles sont aussi fondées sur la méthode de la descente infinie. Il en existe d'autres, par exemple utilisant la notion d'entiers de Gauss.
La preuve suivante est essentiellement l'une des deux démonstrations d'Euler. Pour montrer que l'équation de Fermat x + y = z n'a aucune solution constituée de trois entiers strictement positifs dont les deux premiers sont premiers entre eux, il suffit de montrer que l'équation a + b = c n'en a pas (ou que a – b = c n'en a pas, ce qu'Euler prouve de même). Supposons l'existence d'une telle solution (a, b, c) et montrons qu'il en existe une autre, (x, y, z), telle que z < c. La méthode de descente infinie permet alors de conclure.
Puisque (a, b, c) est alors un triplet pythagoricien primitif et que (quitte à intervertir a et b si nécessaire) a est impair, il existe un couple (p, q) d'entiers strictement positifs et premiers entre eux tel que
De même, puisque (a, q, p) est un triplet pythagoricien primitif, il existe un couple (m, n) d'entiers strictement positifs et premiers entre eux tel que
Puisque p et 2q sont premiers entre eux et que 2pq est un carré, p et 2q sont des carrés. De même, puisque 2q, donc mn, est un carré, m et n sont des carrés. Donc il existe des entiers strictement positifs x, y et z (premiers entre eux) tels que m = x, n = y et x + y = z. Comme z = p < c, la preuve est établie.
Entier quadratique
Une fois analysé le cas des puissances de 2, le théorème devient singulièrement plus complexe à établir. Il existe encore trois démonstrations, pour les cas n = 3, 5 et 7, fondées sur le même canevas et usant de la méthode de descente infinie.
Pour pouvoir l'appliquer, une idée fructueuse consiste à « modifier » l'ensemble sur lequel s'applique l'équation. Il est possible de généraliser le théorème de Fermat sur tout ensemble E muni de deux opérations, l'addition et la multiplication. Les opérations sur E doivent disposer d'un minimum de propriétés, lui conférant une structure appelée anneau. Cette idée est un peu contre-intuitive : si la résolution se révèle déjà ardue dans ℤ, l'anneau des entiers relatifs, la question ne devient-elle pas encore plus délicate sur un anneau quelconque ? En fait, l'objectif est de choisir E disposant des bonnes propriétés pour que la résolution soit plus aisée.
Cet anneau est choisi : commutatif ; intègre, c'est-à-dire que si un produit ab est égal à 0 alors a ou b est nul ; factoriel, ce qui signifie que tout élément non nul et non inversible se décompose en un produit d'éléments premiers de l'anneau, comme –12 est, dans ℤ, le produit de –3, 2 et 2 ; et tel que tout élément inversible possède une racine n-ième. Sur un tel anneau, correspondant par exemple à celui des polynômes à coefficients complexes, Augustin Louis Cauchy met au point une méthode générale de résolution.
La difficulté réside dans le fait que ℤ ne contient pas de racine n-ième de l'unité à l'exception de 1 et –1. L'usage d'autres anneaux contenant ℤ devient intéressant. Les plus simples correspondent à des ensembles ℤ[ω] d'entiers quadratiques c'est-à-dire des nombres de la forme a + bω où a et b sont des entiers relatifs et ω un nombre complexe tel que ω2 soit combinaison linéaire de ω et de 1 à coefficients dans ℤ, ce qui assure la stabilité de l'ensemble. Certains de ces ensembles contiennent des racines n-ième de l'unité. Tel est le cas si ω est la racine cubique de l'unité = (1 + )/2 ou le nombre d'or (1 + )/2. De plus, ces anneaux sont dits euclidiens, c'est-à-dire qu'il existe une division euclidienne. Et tout anneau euclidien est factoriel. Ils permettent de résoudre les cas n = 3 ou 5. Une approche un peu analogue permet encore de résoudre le cas n = 7.
L'efficacité des anneaux quadratiques s'arrête là. Dans le cas général, ils ne sont ni euclidiens ni factoriels, ce qui impose la mise au point d'autres idées.
thumb|Augustin Louis Cauchy. Cas de l'anneau des polynômes à coefficients complexes On recherche ici à résoudre l'équation :
Ici x, y et z représentent trois polynômes à coefficients complexes. Pour les raisons indiquées au paragraphe précédent, cette question est finalement beaucoup plus facile que celle de Fermat. Elle est résolue en 1847 par Cauchy. après la résolution des cas n = 3, 5 et 7 et avant la percée majeure de Ernst Kummer. Le résultat s'énonce de la manière suivante :
Soit p, q, r trois polynômes à coefficients complexes et n un entier strictement plus grand que 2, si pn + qn = rn et si p et q sont premiers entre eux, alors les trois polynômes p, q et r sont constants.
Deux polynômes à coefficients complexes sont premiers entre eux si, et seulement si, les seuls polynômes qui divisent les deux sont les constantes. Cette résolution est plus simple que les trois cas précédents car la complexité calculatoire est moindre. La démarche est néanmoins très similaire. Les polynômes à coefficients complexes forment un anneau commutatif unitaire et intègre équipé d'une division euclidienne. Une démarche de nature arithmétique est ainsi possible. Il existe un équivalent de la notion de nombre premier, celle de polynôme irréductible (c'est-à-dire non constant et divisible uniquement par lui-même et par 1, à la multiplication par un nombre complexe près) et unitaire (c'est-à-dire de coefficient du terme de plus haut degré égal à 1). Le théorème fondamental de l'arithmétique s'applique, c'est-à-dire qu'il existe une décomposition en facteurs premiers, ainsi que l'identité de Bézout ou le lemme d'Euclide. Les démonstrations présentées dans cet article pour les cas n égal à 3 ou 5 sont choisies dans le cadre d'un anneau euclidien.
La démonstration est ici largement simplifiée par le fait que dans l'anneau des polynômes à coefficients complexes, tout élément inversible (c'est-à-dire tout polynôme constant non nul) admet une racine n-ième.
Cas où n est égal à trois Le cas n = 3 est plus complexe, vol. 2, , , .. Euler écrit à Goldbach en 1753, lui indiquant qu'il l'a résolu. La seule preuve qu'il ait publiée, en 1770 dans son Algebra, est cependant incomplète ., sur un point crucial. Euler est assez confus à cet endroit, mais il semble bien que l'argument qu'il utilise implicitement soit erroné, et il n'est jamais revenu dessus ultérieurement.. Cependant la preuve, si elle n'est pas facile à corriger, peut l'être par des méthodes qu'Euler avait utilisées pour d'autres propositions de Fermat.. Il est même possible qu'Euler ait eu en 1753 une démonstration correcte, puis qu'il ait voulu utiliser ensuite un argument plus élégant, celui utilisant les nombres complexes décrit ensuite.