En mathématiques, un réseau d'un espace (vectoriel) euclidien est un sous-groupe discret de l’espace, de rang fini n. Par exemple, les vecteurs de Rn à coordonnées entières dans une base forment un réseau de Rn. Cette notion permet de décrire mathématiquement des maillages, comme celui correspondant à la figure 1.

thumb|Fig. 1. Un réseau est un ensemble discret disposé dans un espace vectoriel réel de dimension finie de manière régulière, au sens où la différence de deux éléments du réseau est encore élément du réseau.

En fixant un point origine, on peut lui associer un réseau de points de Rn (plusieurs réseaux pouvant définir le même réseau de points). Ce réseau de points remplit l'espace au sens où il existe un rayon R tel que toute boule de rayon R contient au moins un point du réseau. Il est discret au sens où il existe un nombre strictement positif r tel que toute boule de rayon r contient au plus un point du réseau. Il est régulier.

L'étude des réseaux est à la croisée de différentes branches des mathématiques, la théorie des groupes, l’algèbre linéaire, la théorie des groupes de Lie la géométrie des nombres, la géométrie convexe, mais aussi d’autres domaines comme l’algorithmique ou la cristallographie (réseau de Bravais) et les outils d'analyse sont essentiellement géométriques. Les questions propres à l'analyse d'un réseau portent sur les différentes symétries qui laissent invariant le réseau, la résolution de problèmes d'empilements de sphères ou de convexes.

Algèbre linéaire et espace métrique

Dans cet article les lettres ℂ, ℝ, ℚ et ℤ désignent respectivement le corps des imaginaires encore appelés complexes, des nombres réels, des rationnels et l'anneau des nombres entiers et n un entier strictement positif. L'espace vectoriel ℝn désigne l'ensemble des n-uplets composés de n nombres réels dans un ordre donné. Géométriquement, on les imagine comme les coordonnées d'un point dans un espace muni d'un repère orthonormal. En dimension 2 ou 3, on obtient une représentation du monde physique, à la condition qu'il soit approximé par une géométrie euclidienne.

Définition

thumb|Fig. 2. L'hexagone est une figure permettant de construire un réseau en dimension 2.

Une telle définition mérite quelques explications. Le choix de ℝn au lieu d'un espace vectoriel réel de dimension n n'est que de peu d'importance. Tout espace vectoriel réel de dimension n est une copie de ℝn et les résultats vrais dans ℝn le sont dans un espace réel de dimension n. On parle d'isomorphisme. Le fait que les points forment un groupe implique la régularité du réseau. Un polygone de sommets des points du réseau, translaté par un déplacement d'un point du réseau à un autre, possède toujours pour sommets des points du réseau. L'exemple de la figure 2 l'illustre. Les points du réseau correspondent à l'intersection du quadrillage, l'hexagone en violet, translaté possède toujours des sommets éléments du réseau. Dans le cadre spécifique d'une partie de ℝn, on peut expliquer le sens du mot discret par l'énoncé suivant :

Le groupe ℚn, constitué des points à coordonnées rationnelles, est un exemple de sous-groupe non discret.

La troisième propriété signifie qu'il n'existe pas de sous-espace vectoriel strict contenant le réseau. Si la dimension est égale à 3, alors aucun plan ne contient le réseau. Si un plan entier est couvert et s'il existe un unique point du réseau en dehors d'un plan, la stabilité de l'addition et de la soustraction montre que l'espace entier est couvert. Dire que l'espace est couvert signifie qu'il existe un rayon ρ tel que toute boule de rayon supérieur à ρ contient au moins un point du réseau, et ceci quel que soit son centre.

Tout espace vectoriel E de dimension n sur les nombres complexes est aussi un espace vectoriel réel de dimension 2n. Ainsi, si Λ est un groupe discret qui génère E, en tant qu'espace vectoriel réel, il est un réseau de dimension 2n. De même que ℤn est un réseau de ℝn, Gn est un réseau de ℂn. La lettre G désigne ici les entiers de Gauss, c'est-à-dire les nombres de la forme a + b où a et b sont des éléments de ℤ.

Base

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thumb|Fig. 4. Dans un réseau, il existe une famille, illustrée en rouge sur la figure, telle que tout point s'exprime comme combinaison linéaire de manière unique, des points de la famille.

Il existe plusieurs manières de lire et de démontrer ce théorème. En termes de théorie des groupes, un réseau est un groupe abélien de type fini sans torsion, autrement dit un groupe abélien libre de rang fini.

thumb|left|Fig. 3.

Une autre manière de voir les choses est de faire usage de l'algèbre linéaire. On considère le réseau comme un quasi espace vectoriel, à la différence que les scalaires ne sont pas tous inversibles. Les scalaires ici sont égaux aux nombres entiers. Une telle structure porte le nom de module. S'il existe une famille génératrice finie, si le ℤ-module forme un groupe additif sans torsion, le théorème des facteurs invariants est une manière de montrer le résultat.

Ces démonstrations sont bien peu géométriques et n'utilisent guère les outils associés aux réseaux. On peut imaginer une démonstration directe, guidée par l'intuition géométrique qu'apporte une telle structure. Le principe est illustré en dimension 2 sur la figure 3. On considère deux vecteurs libres du réseau, choisis de norme la plus petite possible. La norme est le terme mathématique technique désignant la longueur d'un vecteur. On appelle ces vecteurs α et β. Ils définissent un parallélogramme, en jaune sur la figure 3. La minimalité des normes de α et β permet de montrer que ce parallélogramme ne contient aucun point du réseau autre que ses sommets.

On considère un point λ quelconque du réseau, que l'on peut toujours exprimer comme une combinaison linéaire de α et β si la structure considérée est l'espace vectoriel ℝn. En retranchant à λ le vecteur de coordonnées les parties entières de celles de λ, on obtient un petit vecteur du réseau, à l'intérieur du parallélogramme jaune. Ce principe est un peu analogue à une division euclidienne. Le petit vecteur serait, avec cette analogie, le reste. Le fait qu'il soit dans le parallélogramme et dans le réseau, montre qu'il est nul. Le vecteur λ s'exprime donc comme une combinaison linéaire de α et β avec des coefficients entiers.

Cette démonstration, ainsi que sa généralisation en dimension quelconque est plus simple que les deux citées précédemment. L'usage de la géométrie simplifie l'approche. En revanche, la méthode proposée ici n'est pas effective, à la différence de celle des facteurs invariant, par exemple. Effective signifie que l'on peut, avec cette méthode, construire effectivement une base. Dans le cas général, il est difficile de trouver le vecteur non nul de plus petite norme.

Dimension 2 : Le réseau n'est pas limité au vecteur nul, car il engendre l'espace vectoriel ℝn, il existe au moins un vecteur de norme non nul, soit b cette norme. Le disque de centre le vecteur nul et de rayon b intersecte le réseau en un autre point que l'origine et contient un nombre fini du points du réseau. Ce qui montre qu'il existe au moins un vecteur α non nul de plus petite norme dans le réseau. On considère maintenant le réseau diminué des multiples de α. L'ensemble est non vide car sinon le réseau n'engendrerait pas l'espace vectoriel ℝn, le même raisonnement que le précédent montre l'existence d'un vecteur β de longueur minimale, dans le réseau, à l'exception peut-être de quelques multiples de α, correspondant à la bande bleue sur la figure 3. Le gros point bleu est l'origine. Le vecteur α est bien un vecteur non nul de plus petite norme du réseau et vient ensuite β, dont la norme n'est minorée que par celle de α, son inverse et le vecteur nul.

Il n'existe au plus qu'une manière d'écrire un vecteur du réseau comme combinaison linéaire de α et β. En effet, cette propriété est une conséquence du fait que ces deux vecteurs sont libres dans l'espace vectoriel ℝn. Il n'existe qu'une manière d'écrire un vecteur quelconque de ℝn comme combinaison linéaire de α et β, ce qui est en particulier vrai pour les vecteurs du réseau.

Montrons maintenant que tout vecteur du réseau est combinaison linéaire de α et β, à coefficients entiers. Considérons le disque rouge, de centre α et de rayon la norme de β, un tel disque ne peut contenir comme point du réseau, en dehors de sa frontière, que quelques multiples de α dans la zone bleue sur la figure 3, d'après la définition de la norme de β. Le disque vert est de centre β et de rayon la norme de α. Le même raisonnement montre que l'intérieur de ce disque ne peut contenir aucun point du réseau. Le segment [0, α] ne peut contenir que ses extrémités comme point du réseau, il en est de même pour le segment [0, β]. Il en est aussi de même pour [α, β] et [β, α + β] car sinon, en soustrayant α ou β, on aurait une contradiction. En résumé, le parallélogramme, en jaune, de sommets 0, α, β et α + β ne contient aucun autre point du réseau que ses sommets. On remarque que ce parallélogramme est constitué des vecteurs de ℝn ayant deux coefficients compris entre 0 et 1 dans la base (α, β).

Considérons un élément quelconque λ du réseau. Il est nécessairement combinaison linéaire de la base (α, β) de ℝn, et λ = aα + bβ avec a et b réels. L'objectif est de montrer que a et b sont entiers. Soit pa (resp. pb) la partie entière de a (resp. b) et ra (resp. rb) sa partie fractionnaire. Comme α et β sont des éléments du réseau et que pa et pb sont des nombres entiers, paα + pbβ est un point du réseau au même titre que λ. Leur différence, égale à raα + rbβ, est donc dans le réseau. C'est aussi un point du parallélogramme jaune car ses deux coordonnées sont comprises entre 0 et 1. Il existe quatre points du réseau possible, comme une partie fractionnaire est toujours strictement plus petite que 1, la seule valeur possible est 0, ce qui montre que a est égal à pa et b à pb. Autrement dit, les coordonnées de λ dans la base sont entières, ce qui termine la démonstration.

Dimension quelconque :

thumb|Fig. 5.

Démontrons ce résultat par récurrence sur n. Pour les dimensions 1 et 2, une démonstration est déjà présentée. Supposons la propriété démontrée à l'ordre n − 1 et démontrons la à l'ordre n. Le réseau forme une famille génératrice de ℝn, de toute famille génératrice, il est possible d'extraire une base, il existe donc une sous-famille du réseau de cardinal n qui engendre l'espace entier. Soit (fi), pour i variant de 1 à n, une telle base. Elle n'est pas a priori celle recherchée car rien n'indique que les éléments du réseau s'expriment comme combinaison linéaire à coefficients entiers dans cette base. Soit S l'espace vectoriel engendré par (fi), pour i variant de 1 à n − 1. L'intersection du réseau et de S est un groupe discret engendrant S, il existe une base (bi), pour i variant de 1 à n − 1 de l'intersection du réseau et de S, par hypothèse de récurrence. L'hyperplan S est représenté sur la figure 5, couleur crème, le vecteur nul est le point bleu. La famille (bi) est un bon candidat pour la base recherchée, mais il manque encore un vecteur.

Soit φ une forme linéaire nulle sur S telle que l'image du réseau par φ ne soit pas réduite à 0. Une telle forme existe, sinon le réseau n'engendrerait que l'espace S et pas l'espace entier. L'objectif est de montrer que l'image par φ du réseau est un sous-groupe discret de ℝ, c'est-à-dire qu'il existe un réel strictement positif ε tel que si u est un élément du réseau, l'image du réseau par φ ne contient que la valeur φ(u) entre φ(u) − ε et φ(u) + ε. On remarque que l'on peut supposer u nul ; en effet, si l'image par φ du réseau n'est pas discret, quel que soit ε, il existe deux vecteurs u et v d'images distinctes par φ et dont la différence est, en valeur absolue, inférieure à ε, ce qui montre que l'image par φ de u − v est, en valeur absolue, inférieure à ε.