thumb|right|alt=Triangle rectangle et relation algébrique entre les longueurs de ses côtés.|Relation entre les longueurs des côtés dans un triangle rectangle. Le théorème de Pythagore est une proposition de géométrie euclidienne qui met en relation les longueurs des côtés dans un triangle rectangle. Il s'énonce fréquemment sous la forme suivante :
Ce théorème permet notamment de calculer l’une des longueurs à partir des deux autres.
Il doit son nom à Pythagore de Samos, philosophe de la Grèce antique du ; cependant, le résultat était connu plus de mille ans auparavant en Mésopotamie et a vraisemblablement été découvert indépendamment dans plusieurs autres cultures.
La plus ancienne démonstration qui nous soit parvenue est due à Euclide, vers Même si les mathématiciens grecs en connaissaient sûrement une auparavant, rien ne permet de l'attribuer de façon certaine à Pythagore.
Les premières démonstrations historiques reposent en général sur des méthodes de calcul d’aire par découpage et déplacement de figures géométriques. Inversement, la conception moderne de la géométrie euclidienne est fondée sur une notion de distance qui est définie pour respecter ce théorème.
Divers autres énoncés généralisent le théorème à des triangles quelconques, à des figures de plus grande dimension telles que les tétraèdres, ou en géométrie non euclidienne comme à la surface d’une sphère.
Plus généralement, ce théorème a de nombreuses applications dans divers domaines très différents (architecture, ingénierie…), encore aujourd'hui, et a permis nombres d'avancées technologiques à travers l'histoire.
Énoncés
Théorème vignette|alt=Triangle rectangle muni de carrés formés sur chacun de ses côtés.|Une représentation géométrique du théorème : l’aire du grand carré bleu ciel est la somme des aires des deux autres carrés. La forme la plus connue du théorème de Pythagore est la suivante :
En particulier, la longueur de l’hypoténuse est donc toujours supérieure à celle de chaque autre côté.
Le terme « longueur » est parfois omis, chaque côté étant assimilé à sa longueur. Toutefois l’élévation au carré (algébrique), qui n’a de sens que pour une grandeur numérique comme la longueur, correspond à la construction d’un carré (géométrique) sur chaque côté du triangle. Certaines démonstrations du théorème s’appuient d’ailleurs sur une égalité d’aires entre le carré construit sur l’hypoténuse et la réunion des carrés construits sur les deux autres côtés.
En nommant les sommets du triangle, le théorème peut se reformuler dans l’implication suivante : Avec les notations usuelles , et (cf. figure ci-dessous), la formule s’écrit encore : , on peut alors isoler en appliquant l'opération de la racine carrée à l'égalité pour écrire: center|thumb|Triangle rectangle en C avec les notations AB = c, AC = b et BC = a.|class=skin-invert-image
Par contraposée :
Réciproque L’implication réciproque est également vraie :
Pour une formulation sans notations des sommets, le terme « hypoténuse » n'est utilisable qu'une fois acquis que le triangle est rectangle :
Par contraposée de la réciproque :
La réciproque se déduit du théorème lui-même et d'un cas d'« égalité » des triangles : si l'on construit un triangle rectangle en de sommets , et , avec , on a par le théorème de Pythagore, donc un triangle isométrique au triangle initial (les trois côtés sont deux à deux de même longueur). L'angle en du triangle initial , identique à celui du triangle , est donc droit.
Équivalence Comme la réciproque est vraie, on dit que l'on a une équivalence : la propriété sur les carrés des longueurs des côtés du triangle est une condition nécessaire et suffisante pour qu'il soit dit rectangle en :
Triplets pythagoriciens
Quand trois nombres entiers vérifient la même relation que celle donnée par le théorème de Pythagore pour les côtés d'un triangle rectangle, c'est-à-dire que le carré du plus grand est la somme des carrés des deux autres, on les nomme « triplets pythagoriciens ». Le plus simple et le plus connu est le triplet (3,4,5) : 32 + 42 = 52. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, un triangle dont les longueurs des côtés sont 3, 4 et 5 est rectangle.
Applications Arpentage vignette|alt=Triangle de dimensions 3-4-5 avec les côtés gradués par des points symbolisant les nœuds d’une corde.|Corde à treize nœuds (le dernier superposé au premier) disposée en triangle rectangle. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, si un triangle a des côtés de longueurs 3, 4 et 5 (par rapport à une unité quelconque) alors il est rectangle.
Ce cas particulier de triplet pythagoricien justifie l’usage de la corde à treize nœuds, qui aurait permisL'usage de la corde à treize nœuds n'est pas attesté historiquement autrement que dans un but pédagogique en mathématiques, voir l'article dédié pour plus de détails. de mesurer des distances mais aussi d’obtenir un angle droit sans équerre rigide en répartissant les douze intervalles qui séparent les nœuds sur les trois côtés d’un triangle de dimensions 3 – 4 – 5.
Nature d'un triangle Le théorème (ou plutôt sa contraposée) et sa réciproque montrent que la relation donnée entre les longueurs des côtés est une propriété caractéristique des triangles rectangles, ce qui permet de l’utiliser comme test dans la détermination de la nature d’un triangle : si alors le triangle est rectangle en ; si n’est pas égal à alors le triangle n’est pas rectangle en . En effectuant le test pour le sommet opposé au plus grand côté du triangle (seul sommet susceptible d'abriter l'angle droit), on peut déterminer si le triangle est rectangle ou non à partir des longueurs de ses côtés.
Distance euclidienne thumb|L'égalité comme cas particulier du théorème de Pythagore.|class=skin-invert-image Dans le plan muni d’un repère orthonormé, la distance entre deux points s’exprime en fonction de leurs coordonnées cartésiennes à l’aide du théorème de Pythagore par :
Cette formule est analogue à celle qui donne la norme d’un vecteur de coordonnées dans une base orthonormée :
Ces formules se généralisent en dimension plus grande.
Relation trigonométrique En considérant le cosinus et le sinus d’un angle α comme l'abscisse et l'ordonnée d’un point du cercle trigonométrique repéré par cet angle, et le rayon du cercle trigonométrique de longueur 1 comme l'hypoténuse, le théorème de Pythagore permet d’écrire : .
Histoire thumb|alt=Tablette munies d’inscriptions cunéiformes disposées en lignes.|La tablette Plimpton 322, datant d'environ 1800 , donne une liste de nombres disposés en colonnes avec des en-têtes ; deux des colonnes correspondent à l'hypoténuse et au plus petit côté d'un triangle rectangle, ainsi que l'annoncent les entêtes. Pythagore vivait au , mais l'histoire du théorème de Pythagore commence plus d'un millénaire auparavant, comme en témoignent plusieurs tablettes d'argile de la période paléo-babylonienne.. Il n'y a aucune preuve archéologique qui permette de remonter plus avant, même si quelques hypothèses existent.
Ainsi, les travaux d'Alexander Thom, qui imagine une organisation de sites mégalithiques datant du en Grande-Bretagne et en France utilisant triangles rectangles et triplets pythagoriciens, sont fortement contestésVoir ; voir également , qui critique l'utilisation des travaux de Thom par Bartel Leendert van der Waerden dans .. L'hypothèse parfois avancée que le théorème aurait été connu de l'Égypte ancienne dès le Moyen Empire paraît elle aussi difficile à établirLe Papyrus Berlin 6619 qui peut dater du est parfois évoqué, mais cela est très contesté . Il présente bien un problème du second degré dont la solution met en jeu implicitement le triplet (3, 4, 5), mais il n'est pas question de triangle rectangle. Voir également ci-dessous le paragraphe Égypte ancienne..
Mésopotamie vignette|Tablette Si427. vignette|Illustration d'un problème posé (sans cette illustration) à l'époque paléo-babylonienne sur la tablette d'argile BM 85196 (entre 2000 et ), et que l'on peut formuler ainsi : une perche de longueur est posée verticalement contre un mur, l'extrémité haute glisse verticalement vers le bas de , de combien l'extrémité basse glisse-t-elle horizontalement ? La « règle de Pythagore » donne la solution, à savoir On retrouve plus tard ce problème de la perche ou du roseau posé contre un mur sur les papyrus égyptiens de l'époque ptolémaïque, les tablettes séleucides.. Il devient un classique des mathématiques arabes., et on le pose encore de nos jours.|class=skin-invert-image
Les historiens des mathématiques et assyriologuesAutour d'Otto Neugebauer en Allemagne, puis de François Thureau-Dangin en France, voir . ont découvert à la fin des années 1920 que s'était forgée en Mésopotamie (l'ancien Irak), à l'époque paléo-babylonienne, une culture mathématique dont l'objet n'était pas purement utilitariste. (numération mésopotamienne finale : sexagésimale positionnelle avec base décimale accessoire).
Plusieurs des tablettes d'argile qui ont été retrouvées et analysées montrent que la relation entre les longueurs des côtés du rectangle et celle de sa diagonale (soit entre les longueurs des côtés d’un triangle rectangle) était connue. et utilisée pour résoudre des problèmes calculatoiresPlusieurs sont décrits par ..
Des « tablettes cadastrales » (dont la plus ancienne date de 2340 à ) établies pour le commerce ou l'administration de parcelles exposent ainsi cette connaissance. La tablette Si427., datant de 1900 à , a été redécouverte par Daniel Mansfield en 2020 au Istanbul Arkeoloji Müzeleri.. Découverte à Sippar (Irak), elle montre ainsi un terrain avec tour, aire de battage et marécage dont une des parcelles a été mise en vente par son propriétaire. Elle présente des découpes de trapèzes et de triangles rectangles ainsi que quelques triplets pythagoriciens..
La tablette Plimpton 322 (vers ) donne une liste ordonnée de nombres associés à des triplets pythagoriciens, soit des entiers satisfaisant la relation . La tablette ne donne que deux nombres du triplet, mais les associe explicitement au plus petit côté et à la diagonale d'un rectangle.Pour une description de la tablette et diverses interprétations, voir et ..
Il n'y a pas trace cependant de l'énoncé d'un théorème et les historiens préfèrent souvent utiliser un autre mot : certains parlent par exemple de « règle de la diagonale » donne une liste de tablettes en cunéiforme qui utilisent cette « règle de la diagonale » dans , . ou de « règle de Pythagore », .. Ni celle-ci, ni le principe qui la sous-tend ne sont explicitement énoncés non plus, mais les exemples montrent bien qu'une règle générale est connue..
La datation et l'origine exacte des tablettes d'argile ne sont pas toujours évidentes, beaucoup de celles-ci ont été achetées sur le marché des antiquités comme la tablette Plimpton 322, mais les historiens peuvent s'appuyer sur des éléments linguistiques, et les similarités avec celles dont l'origine est connue, ayant été obtenues par des fouilles archéologiques régulières. Les traces que l'on a des cultures antérieures rendent peu vraisemblable la découverte de la « règle de Pythagore » avant , celle-ci pourrait apparaître entre 2025 et ..
Inde En Inde, un énoncé du théorème, sous sa forme la plus générale, apparaît dans l', l'un des Śulba-Sūtras, ces traités du cordeau qui codifient les règles des constructions destinées aux rituels védiques. Ceux-ci ont été rédigés entre le et le avant notre ère (par ailleurs certains triplets pythagoriciens sont mentionnés dans des textes bien antérieurs). Les Sulbasutras parlent du rectangle et de sa diagonale, plutôt que de triangle..
Chine