En mathématiques, le théorème de Midy, dû au mathématicien français Étienne Midy ; .Pour un historique de ce théorème, voir , vol. 1, 1919 (notes 19 p. 161 et 27 p. 163) et (). C'est Henry Goodwyn qui a observé cette propriété dans , puis Midy qui l'a démontrée dans . La note dans le est simplement attribuée à , mais due à Goodwyn, d'après Dickson et . Selon , qui a réussi à trouver la publication de Midy (sur microfilm à la ) et a été inspiré par sa richesse, les seuls auteurs qui la mentionnent n'en ont lu que ce qu'écrit Dickson., est un énoncé concernant le développement décimal périodique d'une fraction (comprise, sans perte de généralité, entre 0 et 1), où est un nombre premier (différent de 2 et 5) tel que la période soit de longueur paire. Une telle fraction s'écrit

et le théorème établit que les chiffres dans la deuxième moitié de la période sont les compléments à 9 de ceux qui leur correspondent dans la première moitié. En d'autres termes :

ou encore :

Par exemple,

On peut donner des preuves expéditives de ce théorème en utilisant la théorie des groupes. On peut aussi le démontrer par des calculs d'algèbre élémentaire et de congruence sur les entiers.

Théorème de Midy dans d'autres bases Le théorème de Midy ne dépend pas de propriétés particulières du développement décimal, c'est-à-dire qu'il est encore valable dans n'importe quelle base non divisible par , à condition bien sûr de remplacer par et 9 par .

(Accessoirement, on peut en déduireSi est un résidu quadratique, on sait déjà que ce chiffre est . Le cas est signalé par . Grâce à la loi de réciprocité quadratique, le critère ( résidu quadratique modulo ou pas) se calcule en fonction de la classe de modulo . que si et si n'est pas un résidu quadratique modulo , le chiffre de rang du développement de en base vaut .)

Par exemple, en base cinq :

La seconde des deux formulations du théorème en base données en introduction peut d'ailleurs s'interpréter comme un cas particulier de la première, pour un développement 2-périodique en base . De même, l'exemple ci-dessus, 6-périodique en base , se réécrit comme 2-périodique en base :

Compte tenu de cette remarque, le théorème de Midy en base quelconque s'écrit donc simplement : si est un nombre premier ne divisant pas et si le développement de en base s'écrit , alors .

Théorème de Midy étendu De même, on peut donner du théorème de Midy étendu Bassam Abdul-Baki, Extended Midy's Theorem, 2005.. une reformulation simple :

L'encadrement de l'entier s vient du fait que les h chiffres, tous compris entre 0 et B – 1, ne peuvent pas être tous nuls ni tous égaux à B – 1, puisque h > 1.

Le théorème de Midy original est le cas h = 2 : dans ce cas, 0 < s < 2 donc s = 1.

Lorsque h > 2, s peut être supérieur à 1 ; pour h = 3, on a cependant encore s = 1 si est égal à 1, 2 ou 3, sauf, dans certaines bases, si et .

Par exemple, en reprenant , on a également : en bases cent et dix : en bases vingt-cinq et cinq (puisque ) :

Cas p non premier Dans l'énoncé ci-dessus du théorème de Midy (même non étendu), la primalité de p est cruciale. Par exemple (en base mille) :

En effet, lorsqu'on ne suppose plus que p est un nombre premier ne divisant ni a ni B, mais seulement que p est un entier premier avec a et B, si la période — c'est-à-dire l'ordre multiplicatif de B mod p — est égale à 2, on n'a plus nécessairement B ≡ –1 mod p. Or c'est sous cette forme que le critère apparaît naturellement, dans une démonstration qui n'utilise même pas la 2-périodicité (elle s'en déduit). — Dans ce journal à large public, Leavitt présente ce théorème comme une jolie application de la notion d'ordre d'un élément d'un groupe. La conclusion contient des corollaires destinés à inciter le lecteur à s'intéresser au critère d'Euler, à la loi de réciprocité quadratique et aux nombres de Fermat.. :

Notons le réel représenté en base par . Ainsi, . Supposons que (donc et sont premiers entre eux et le développement de est unique). Puisque est à la fois entier (égal à ) et strictement compris entre et , il est égal à . Par unicité des développements et , on en déduit que . Réciproquement, supposons que . Alors, est entier (égal à ) donc (comme et sont premiers entre eux) divise , autrement dit : .

On peut cependant remarquer — toujours en supposant que l'ordre multiplicatif de B mod p est 2, c'est-à-dire que p divise B – 1 mais ne divise pas B – 1 — que si B – 1 est premier avec p (en particulier si p est une puissance d'un nombre premier impair), la condition B ≡ –1 mod p est encore automatiquement vérifiée.

Preuve du théorème étendu Soient un nombre premier ne divisant pas la base , et une fraction strictement comprise entre et et dont le développement en base est de période . On peut alors démontrer que est l'ordre multiplicatif de modulo (c'est-à-dire le plus petit entier tel que divise ), en particulier ne divise pas (puisque ) et est un entier.

Notons l'entier . Alors, et ne divise pas donc il divise , si bien que la fraction

est un entier. A fortiori :

Or l'entier est égal à , donc s'écrit en base . Par conséquent, modulo , on a bien :

Notes et références

Liens externes

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