Le module d'Young (ou de Young), module d’élasticité (longitudinale) ou module de traction est la constante qui relie la contrainte de traction (ou de compression) et la déformation d'un matériau élastique isotrope. Il mesure donc la rigidité du matériau vis-à-vis d'une (petite) déformation uniaxiale.

Le physicien britannique Thomas Young (1773-1829) avait remarqué que le rapport entre la contrainte de traction appliquée à un matériau et la déformation qui en résulte (un allongement relatif) est constant, tant que cette déformation reste petite et que la limite d'élasticité du matériau n'est pas atteinte. Cette loi d'élasticité est la loi de Hooke :

où : est la contrainte (en unité de pression) ; est le module d'Young (en unité de pression) ; est l'allongement relatif, ou déformation (adimensionnel) ; ().

Le module d'Young est la contrainte mécanique qui engendrerait un allongement de 100 % de la longueur initiale d'un matériau (il doublerait donc de longueur), si l'on pouvait l'appliquer réellement : la plupart des matériaux se déforment de façon permanente, ou se rompent, bien avant que cette valeur ne soit atteinte. Le module d'Young est la pente initiale de la courbe de déformation-contrainte.

Un matériau dont le module d'Young est très élevé est dit rigide. L'acier, l'iridium et le diamant, sont des matériaux très rigides, dont les coefficients d'Young valent plusieurs centaines de gigapascals (GPa), l'aluminium et le plomb le sont moins. Les matières plastiques et organiques, les mousses sont au contraire souples, élastiques ou flexibles (pour un effort de flexion), comme le sont les gels dont le module d'Young peut descendre dans la gamme des kilopascals (kPa).

La rigidité est distincte de la résistance : la résistance mécanique d'un matériau est caractérisée par sa limite d'élasticité et/ou sa résistance à la traction ; la raideur : la raideur d'une poutre (par exemple) dépend de son module d'Young (de sa rigidité) mais aussi du rapport de sa section à sa longueur.. La rigidité caractérise les matériaux, la raideur concerne les structures et les composants : une pièce mécanique massive en matière plastique peut être beaucoup plus raide qu'un ressort en acier ; la dureté : la dureté d'un matériau définit la résistance relative qu'oppose sa surface à la pénétration d'un corps plus dur.

Le tenseur des rigidités généralise le module d'Young aux matériaux anisotropes.

Unités

D'après l'analyse dimensionnelle, le module d'Young est homogène à une pression, ou plus précisément une contrainte. L'unité internationale correspondante est donc le pascal (Pa). En raison des valeurs élevées que prend ce module, il est en général exprimé en gigapascals (GPa) ou mégapascals (MPa).

Expressions théoriques

Dans le cas d'un matériau cristallin et de certains matériaux amorphes, le module d'Young exprime la « force de rappel » électrostatique qui tend à maintenir les atomes à distance constante. Il peut s'exprimer en fonction de la dérivée seconde du potentiel interatomique.

Dans le système d'unités « naturelles » atomique, le module d'Young, pour un matériau isotrope, est homogène à, 3.

où

et où

est la constante de Planck réduite.

Cela dit, compte tenu des problèmes où il apparaît (bilaplacien), il paraît assez naturel de le rationaliser : soit comme ; soit comme ; les ordres de grandeur de ou sont à comparer aux valeurs tabulées, de l'ordre de , qui apparaissent alors relever de ce corpus théorique.

Dans le cas des polymères, l'énergie thermique « tortille » la chaîne carbonée qui tend à maintenir la longueur de la chaîne constante. Le module d'Young peut alors s'exprimer en fonction de l'entropie.

Cette différence de comportement est flagrante lorsque l'on considère l'influence de la température ; si l'on soumet une éprouvette à une charge constante (essai de fluage) : lorsque l'on augmente la température, une éprouvette de métal s'allonge (dilatation), donc son module d'Young diminue, tandis que l'éprouvette en polymère se raccourcit (les chaînes s'agitent, s'entortillent) donc ; lorsque l'on diminue la température, on observe le phénomène inverse : l'éprouvette de métal se raccourcit (contraction) donc son module d'Young augmente, tandis que l'éprouvette de polymère s'allonge (les chaînes sont moins agitées et se laissent étirer) donc .

Relations Pour un matériau isotrope : L'expression de en fonction du module de cisaillement () et du coefficient de Poisson () s'écrit . L'expression de en fonction de et , appelés coefficients de Lamé, est .

Méthodes de mesure

Avec un essai de traction, en connaissant les dimensions de l'éprouvette, le module d'Young peut être déduit.

Pour un résultat plus précis, il est possible de déduire le module d'Young de la fréquence propre de vibration d'une tige de matériau maintenue à ses extrémités et chargée en son milieu.

La vitesse du son dans le matériau peut aussi être utilisée, avec la relation suivante. .

Cependant, cette loi est approchée : la vitesse du son dépend aussi du coefficient de Poisson.

Le module d'Young augmente avec la vitesse de déformation. Voir aussi Principe d'équivalence temps-température.

Le module d'Young complexe peut être déterminé par analyse mécanique dynamique.

Quelques valeurs numériques

Les caractéristiques mécaniques des matériaux sont variables d'un échantillon à l'autre. D'un point de vue global, selon M. Ashby, on trouve des matériaux dont la valeur est comprise entre (mousses) et (céramiques techniques).

+ Métaux purs Matériaux Module (GPa) Aluminium (Al) 69 Argent (Ag) 83 Baryum (Ba) 13 Béryllium (Be) 240 Bismuth (Bi) 32 Cadmium (Cd) 50 Césium (Cs) 1,7 Chrome (Cr) 289 Cobalt (Co) 209 Cuivre (Cu) 124 Étain (Sn) 41,5 Fer (Fe) 196 Germanium (Ge) 89,6 Indium (In) 11 Iridium (Ir) 528 Lithium (Li) 4,9 Magnésium (Mg) 45 Manganèse (Mn) 198 Molybdène (Mo) 329 Nickel (Ni) 214 Niobium (Nb) 105 Or (Au) 78 Palladium (Pd) 121 Platine (Pt) 168 Plomb (Pb) 18 Plutonium (Pu) 96 Rhodium (Rh) 275 Rubidium (Rb) 2,4 Ruthénium (Ru) 447 Scandium (Sc) 74 Sélénium (Se) 10 Sodium (Na) 10 Tantale (Ta) 186 Titane (Ti) 114 Tungstène (W) 406 Uranium (U) 208 Vanadium (V) 128 Zinc (Zn) 78 Zirconium (Zr) 68+ Alliages Matériaux Module (GPa) Acier de construction 210 Acier à ressorts 220 Acier inoxydable 18-10 203 Bronze (cuivre + 9 à 12 % d'étain) 124 Bronze au béryllium 130 Cuivre laminé U4 (recuit) 90 Cuivre laminé U4 (écroui dur) 150 Duralium AU4G 75 Fontes 83 à 170 Hastelloy B2 (Ni + Mo) 217 Hastelloy C 2000 (Ni + Cr + Mo) 206 Inconel X-750 (Ni + Cr + Fe) 212 à 218 Invar 140Laiton (Cu + Zn) 100 à 130 Monel 400 (Ni + Cu) 173 Nimonic 90 (Ni + Cr + Co) 213 à 240 Nispan (Ni + Cr + Ti) 165 à 200 Phynox (Co + Cr + Ni + Mo) 203+ Verres, céramiques, oxydes, carbures métalliques, minéraux Matériaux Module (GPa) Alumine (oxyde d'aluminium Al2O3) Arsenic (As) Arséniure de gallium (AsGa) Béton à 50 Brique Calcaire (carbonate de calcium, CaCO3, roche sédimentaire) à 70 Carbure de chrome (Cr3C2) Carbure de silicium (SiC) Carbure de titane (TiC) Carbure de tungstène (WC) Carbure de zirconium (ZrC) à 440 Diamant (C) Dioxyde de silicium (SiO2) Glace () Graphite Granite Marbre Mullite (Al6Si2O13) Neige (glace + air) à 0,015 Oxyde de béryllium (BeO) Oxyde de magnésium (MgO) Oxyde de zirconium (ZrO) Saphir Aluminure de titane (Ti3Al) Titanate de baryum (BaTiO3) Verre

+ Bois Matériaux Module (GPa) Acajou (Afrique) 12 Bambou 20 Bois de rose (Brésil) 16 Bois de rose (Inde) 12 Chêne 12 Contreplaqué glaw 12,4 Épicéa 10 à 13 Érable 10 Frêne 10 Papier 3 à 4 Sequoia 9,5 N.B. Ces valeurs sont celles du module d'élasticité dans le sens parallèle au fil (matériau anisotrope). Dans une même essence, celui-ci varie en fonction de l'humidité, de la densité (qui n'est pas constante) et d'autres caractéristiques (longueur des fibres…).+ Polymères, fibres Matériaux Module (GPa) Caoutchouc à 0,1 Fibre de carbone haut module Fibre de carbone haute résistance Kevlar Nanotube de carbone Nylon à 5 Plexiglas (poly(méthacrylate de méthyle)) Polyamide à 5 Polycarbonate Polyéthylène à 0,7 Polystyrène à 3,4 Résine époxyde (durcie) Polypropylène à 1,6+ Biomatériaux Matériaux Module (GPa)Émail dentaire82,5 Bec de poussin 50 Cartilage 0,024 Cheveu 10 Collagène 0,006 Laine 14Nacre40 à 70 Piquant d'oursin 15 à 65 Radius 18,6 Soie d'araignée 25 Soie du ver à soie 17 Vertèbre cervicale 0,23 Vertèbre lombaire 0,16

Utilisations Le module d'Young est extrêmement utilisé en mécanique des structures ou en résistance des matériaux. Ces deux domaines apparaissent dans la conception d'édifices architecturaux ou même dans le dimensionnement des ailes d'un avion pour prendre cet exemple. À l'heure actuelle, l'accent est porté sur la recherche de nouveaux matériaux possédant un module d'Young élevé tout en restant léger, les références aéronautiques étant l'aluminium, le titane, et plus récemment les polymères tels que les fibres de carbone.

La mesure du module d'Young permet également de quantifier l'avancement de l'état de dégradation de matériaux comme le béton à la suite de différentes pathologies comme celle de la réaction alcali-granulat et des réactions sulfatiques internes ou externes se caractérisant par un gonflement interne du béton. La mesure peut se faire par essais destructifs (essais de compression, de fendage ou de flexion) ou par examens non destructifs (examens acoustiques ou par ultrasons). En effet, la vitesse de propagation des ondes sonores ou ultra-sonores dans un milieu continu dépend de l'élasticité de ce milieu, fonction elle-même de son module d'Young.

En médecine également, la mesure des variations du module d'Young dans un organe est une possibilité de l'imagerie médicale (essentiellement par échographie) qui permet de représenter l'élasticité des tissus même profonds, par exemple pour donner l'étendue de la fibrose d'un foie ou détecter dans un sein un carcinome petit ou profond, peu décelable à la palpation (élastographie de ).

Références

Voir aussi Bibliographie Ch. Kittel, Physique du solide, éd. Dunod, « Constantes d'élasticité ». Michael F. Ashby et David R. H. Jones, Matériaux 1. Propriétés et applications, éd. Dunod, « Les constantes d'élasticité ».

Articles connexes Notion de module Module d'élasticité Facteur de forme Module de cisaillement Limite d'élasticité Mécanique des milieux continus Élinvar

Liens externes Module d'Young, avec exercices corrigés , sur 4geniecivil.com.

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