vignette|Léonard de Vinci : écoulement dans une fontaine. En mécanique des fluides, les équations de Navier-Stokes sont des équations aux dérivées partielles non linéaires qui décrivent le mouvement des fluides newtoniens (donc des gaz et de la majeure partie des liquidesLes équations de Navier-Stokes adoptent l’approximation des milieux continus, approximation qui est acceptable pour la plupart des fluides, à l'exception des gaz extrêmement raréfiés.). La résolution de ces équations modélisant un fluide comme un milieu continu à une seule phase est difficile, et l'existence mathématique de solutions des équations de Navier-Stokes n'est pas démontrée. Mais elles permettent souvent, par une résolution approchée, de proposer une modélisation de nombreux phénomènes, comme les courants océaniques et des mouvements des masses d'air de l'atmosphère pour les météorologistes, le comportement des gratte-ciel ou des ponts sous l'action du vent pour les architectes et les ingénieurs, ou encore celui des avions, des trains ou des voitures à grande vitesse pour leurs bureaux d'études concepteurs, ainsi que l'écoulement de l'eau dans un tuyau et de nombreux autres phénomènes d'écoulement de divers fluides.
Ces équations sont nommées ainsi pour honorer les travaux de deux scientifiques du : le mathématicien et ingénieur des Ponts Henri Navier, qui est le premier à introduire la notion de viscosité dans les équations d'Euler en 1822., et le physicien George Gabriel Stokes, qui a donné sa forme définitive à l'équation de conservation de la quantité de mouvement en 1845 George Gabriel Stokes, , , 1845, ... Entre-temps, divers scientifiques ont contribué à l'avancement du sujet : Augustin Louis Cauchy, sur Gallica., Siméon Denis Poisson en 1829Siméon Denis Poisson, « Mémoire sur les équations générales de l'équilibre et du mouvement des corps solides élastiques et des fluides », lu à l'Académie royale des sciences le avant publication au du Journal de l'École polytechnique, Imprimerie royale, 1830, , . et Adhémar Barré de Saint-Venant en 1843.
Pour un gaz peu dense, il est possible de trouver une solution approchée de l’équation de Boltzmann, décrivant le comportement statistique des particules dans le cadre de la théorie cinétique des gaz. Ainsi, la méthode de Chapman-Enskog, due à Sydney Chapman et David Enskog en 1916 et 1917, permet de généraliser les équations de Navier-Stokes à un milieu comportant plusieurs espèces et de calculer l'expression des flux de masse (équations de Stefan-Maxwell incluant l'effet Soret), de quantité de mouvement (en donnant l'expression du tenseur de pression) et d'énergie en montrant l'existence de l'effet Dufour. Cette méthode permet également de calculer les coefficients de transport à partir des potentiels d'interaction moléculaires.
Le problème de l'existence et la régularité de solutions aux équations de Navier-Stokes constitue l'un des problèmes du prix du millénaire. Le , l'entreprise d’intelligence artificielle OpenAI annonce avoir trouvé une solution tridimensionnelle des équations de Navier-Stokes constituant un contre-exemple à la régularité globale recherchée dans le problème du millénaire. Cette affirmation n’est, en septembre 2026, ni vérifiée par des mathématiciens externes, ni par l'Institut de mathématiques Clay.
Cet article décrit diverses variantes des équations valables pour des milieux de composition homogène, les problèmes liés à la diffusion et aux réactions chimiques n'y sont pas abordés.. Les effets relativistes, toujours associés à un rayonnement, ne sont pas non plus traités.
Lois de conservation
Notations et relations utilisées On utilise les notations conformes à la norme ISO/CEI 80000-2ISO/CEI 80000-2:2009 Grandeurs et unités — Partie 2: signes et symboles mathématiques à employer dans les sciences de la nature et dans la technique.
Les caractères en gras sans serif comme désignent des tenseurs. est l'opérateur nabla exprimé dans un système de coordonnées cartésiennes. est l'opérateur gradient exprimé dans un système de coordonnées cartésiennes. est l'opérateur divergence exprimé dans un système de coordonnées cartésiennes. désigne l'opérateur rotationnel exprimé dans un système de coordonnées cartésiennes. Il est parfois noté . est l'opérateur laplacien exprimé dans un système de coordonnées cartésiennes. est le laplacien vectoriel, soit le vecteur dont chaque composante est le laplacien de la même composante de . Note : diffère de . Toutefois, ne prête plus à confusion.
Le produit dyadique de deux vecteurs s'écrit
où est le produit matriciel. Le produit doublement contracté est l'opérateur défini par :
où représente l'opérateur trace.
Quelques identités vectorielles utiles pour cet article (les deux dernières généralisent la notion de divergence aux tenseurs de rang deux) :
Loi de conservation
On peut définir une loi de conservation pour une variable extensive de densité entraînée à la vitesse et comportant un terme de production volumique par : .
Formulation eulérienne
La formulation la plus utilisée fait appel à un référentiel fixe naturel lorsque l'on traite un problème stationnaire ou instationnaire dans lequel le domaine de calcul est connu à l'avance. On fait alors appel aux variables eulériennes.
On obtient les équations de Navier-Stokes en appliquant la relation de conservation ci-dessus à la masse volumique , à la quantité de mouvement et à l'énergie totale .. Équation de continuité (équation de bilan de la masse)
Équation de bilan de la quantité de mouvement
Équation de bilan de l'énergie
Dans ces équations : représente le temps (unité SI : s) ; désigne la masse volumique du fluide (unité SI : ) ; désigne la vitesse eulérienne d'une particule fluide (unité SI : ) ; désigne le tenseur des contraintes (ou tenseur de pression) qui, si on néglige le rayonnement, se décompose en :
désigne le tenseur des contraintes visqueuses (unité SI : ) ; désigne le tenseur unité ; désigne la pression thermodynamique (unité SI : Pa) ; désigne la gravité ou toute autre force massique extérieure (unité SI : ) ; désigne l'énergie totale par unité de masse (unité SI : ) ; elle s'exprime en fonction de l'énergie interne par unité de masse par : ; désigne le flux de chaleur dû à la conduction thermique (unité SI : ) ; désigne le flux de chaleur dû au rayonnement (unité SI : ). Afin de clore le système il est nécessaire de décrire , , et à partir d'hypothèses sur le fluide considéré. est quant à lui l'objet d'un calcul de transfert radiatif éventuellement couplé à la résolution des équations de Navier-Stokes.
Quelques variations autour du système d'équations
On peut exprimer différemment l'équation de quantité de mouvement en remarquant que : .
L'équation alors obtenue s'interprète comme la deuxième loi de Newton, en remarquant que le terme décrit l’accélération des particules du fluide. Il est possible d'exprimer la conservation de l'énergie sous forme équivalente en transférant au premier membre le terme correspondant à la pression : . Le terme peut être remplacé par où est l'enthalpie massique. En multipliant scalairement l'équation de quantité de mouvement écrite comme ci-dessus par la vitesse on obtient une loi de conservation pour l'énergie cinétique : . En soustrayant cette équation de l'équation de conservation de l'énergie, en utilisant l'équation de conservation de la masse et l'identité , on obtient l'équation suivante sur l'énergie interne par unité de masse : .
Conservation de l'entropie L'entropie massique est utilisée en lieu et place de l'énergie pour l'obtention des équations de l'acoustique. On obtient simplement une équation de conservation à partir de la relation thermodynamique :
En tenant compte de l'équation de continuité cette expression conduit à :
Soit, en comparant avec l'équation de conservation de l'énergie interne ci-dessus :
Formulation lagrangienne
Dans certains problèmes le domaine occupé par le fluide peut varier considérablement au cours du temps. Il s'agit donc de problèmes instationnaires. C'est le cas dans les problèmes d'explosion ou en astrophysique. On fait alors appel aux variables lagrangiennes définies dans le repère noté . L'accélération de la particule fluide est donnée par la dérivée particulaire : . Le dernier terme de cette équation est le terme d'advection de la quantité . Celle-ci peut être scalaire, vectorielle ou tensorielle.
Pour la quantité de mouvement, la dérivée particulaire vaut : .
Les équations de conservation dans le système de coordonnées définies par s'écrivent : Équation de continuité (ou équation de bilan de la masse)
Équation de bilan de la quantité de mouvement
Équation de bilan de l'énergie
Formulation Lagrange-Euler
Le calcul lagrangien peut être mis à mal par une déformation excessive du maillage due à l'apparition d'un tourbillon par exemple. Pour cette raison une formulation mixte dite Arbitrary Lagrange-Euler (ALE) a été développée. Dans cette méthode chaque point est déplacé avec la vitesse et la dérivée particulaire s'écrit, en posant :
Les équations de conservation dans ce système de coordonnées s'écrivent : Équation de continuité (ou équation de bilan de la masse)
Équation de bilan de la quantité de mouvement
Équation de bilan de l'énergie
Une alternative à cette méthode est l'utilisation de la méthode lagrangienne suivie d'un remaillage.
Expressions dans des systèmes de coordonnées En utilisant l'expression des opérateurs dans les divers systèmes courants de coordonnées il est possible de détailler les expressions des équations.
Repère en translation et rotation Il est parfois utile de décrire la dynamique des fluides dans un repère non galiléen, par exemple en physique de l'atmosphère ou pour décrire le mouvement d'un fluide dans un réservoir mobile, par exemple dans un lanceur.
On considère un repère orthonormé se déplaçant à la vitesse par rapport au repère fixe et ayant une vitesse de rotation dans celui-ci.
Pour un point situé en dans le repère mobile, la formule de Varignon s'écrit :
Par dérivation, on obtient l'accélération apparente dans le repère mobile :
Le premier terme dans le crochet est l'accélération de Coriolis et le deuxième est le terme centripète. Le troisième correspond au déplacement du repère mobile :
Il existe donc un terme à ajouter au premier membre de l'équation de la quantité de mouvement. Ce terme est d'ordre cinétique : il ne correspond pas à une force réelle et n'influence donc pas l'équation de conservation de l'énergie.
Fluide newtonien, hypothèse de Stokes
En première approximation, pour de nombreux fluides usuels comme l'eau et l'air, le tenseur des contraintes visqueuses est proportionnel à la partie symétrique du tenseur des taux de déformation (hypothèse du fluide newtonien).
désigne la viscosité dynamique du fluide (unité : Poiseuille (Pl) = = .) désigne la seconde viscosité (ou viscosité volumique, en anglais ) du fluide (unité : Poiseuille (Pl) = = ). Ces coefficients dépendent en général de la masse volumique et de la température thermodynamique, comme au paragraphe suivant.
Avec l'expression du tenseur des contraintes visqueuses, l'équation de quantité de mouvement prend la forme : .
En supposant que les variations spatiales de et sont négligeables, on obtient ,
dont on déduit
On utilise généralement l'hypothèse de Stokes pour relier la viscosité dynamique à la seconde viscosité : .
L'hypothèse de Stokes est vraie pour les gaz monoatomiques. Elle constitue une bonne approximation pour des fluides simples comme l'eau et l'air..