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En théorie des probabilités et en statistique, une loi de probabilité ou distribution de probabilité décrit le comportement aléatoire d'un phénomène dépendant du hasard. L'étude des phénomènes aléatoires a commencé avec l'étude des jeux de hasard. Jeux de dés, tirage de boules dans des urnes et jeu de pile ou face ont été des motivations pour comprendre et prévoir les expériences aléatoires. Ces premières approches sont des phénomènes discrets, c'est-à-dire dont le nombre de résultats possibles est fini ou infini dénombrable. Certaines questions ont cependant fait apparaître des lois à support infini non dénombrable ; par exemple, lorsque le nombre de tirages de pile ou face effectués tend vers l'infini, la distribution des fréquences avec lesquelles le côté pile apparaît s'approche d'une loi normale.
Des fluctuations ou de la variabilité sont présentes dans presque toute valeur qui peut être mesurée lors de l'observation d'un phénomène, quelle que soit sa nature ; de plus, presque toutes les mesures ont une part d'erreur intrinsèque. Les lois de probabilité permettent de modéliser ces incertitudes et de décrire des phénomènes physiques, biologiques, économiques, etc. Le domaine de la statistique permet de trouver des lois de probabilité adaptées aux phénomènes aléatoires.
Il existe beaucoup de lois de probabilité différentes. Parmi toutes ces lois, la loi normale a une importance particulière puisque, d'après le théorème central limite, elle approche le comportement asymptotique de nombreuses lois de probabilité.
Le concept de loi de probabilité se formalise mathématiquement à l'aide de la théorie de la mesure : une loi de probabilité est une mesure particulière, souvent vue comme la loi décrivant le comportement d'une variable aléatoire, discrète ou continue. Une mesure est une loi de probabilité si sa masse totale vaut 1. L'étude d'une variable aléatoire suivant une loi de probabilité discrète fait apparaître des calculs de sommes et de séries, alors que l'étude d'une variable aléatoire suivant une loi absolument continue fait apparaître des calculs d'intégrales. Des fonctions particulières permettent de caractériser les lois de probabilité, par exemple la fonction de répartition et la fonction caractéristique.
Définition informelle Une loi de probabilité décrit de manière théorique le caractère aléatoire d'une expérience dont le résultat dépend du hasard... La notion d'« expérience aléatoire » est dégagée pour désigner un processus réel de nature expérimentale, où le hasard intervient, avec des issues possibles bien identifiées.. Par exemple, le lancer d'un dé ordinaire (équilibré) est une expérience aléatoire : le résultat est un chiffre entre 1 et 6, et chaque chiffre a la même chance d'apparaître ; la loi de probabilité de cette expérience aléatoire est donc : les six chiffres sont équiprobables, de probabilité 1/6.
Historiquement, les lois de probabilité ont été étudiées dans les jeux de hasard : jeux de dés, jeux de cartes, etc. Les résultats possibles d'un tel phénomène sont en nombre fini, sa loi de probabilité est dite discrète. Donner la loi de probabilité revient à donner la liste des valeurs possibles avec leurs probabilités associées.. Elle est alors donnée sous forme de formule, de tableau de valeurs, d'arbre de probabilité ou de fonctions (qui seront détaillées dans les sections suivantes).
Dans un contexte plus général, c'est-à-dire dans le cas où le nombre de valeurs possibles du phénomène aléatoire n'est pas fini mais infini (dénombrable ou non), la loi de probabilité décrit toujours la répartition des chances pour des résultats possibles mais est caractérisée par des fonctions (densité de probabilité et fonction de répartition, entre autres) ou plus généralement par des mesures.
Historique thumb|alt=Pyramide formée de faisceaux convergents qui surmonte une courbe de Gauss|La planche de Galton, imaginée en 1889, permet de visualiser la courbe de Gauss comme loi limite.
L'utilisation du hasard existe depuis l'Antiquité, notamment dans les jeux de hasard, les paris sur les risques des transports maritimes ou les rentes viagères.. Cependant, une des premières références connues à des calculs de probabilités est un calcul élémentaire sur la Divine Comédie qui n'apparaît qu'au pendant la Renaissance.. Les premiers traités forment le début de la théorie des probabilités, principalement basée sur des probabilités combinatoires. Les problèmes se posent ainsi, à propos de la durée d'un jeu de cartes :
On reconnaît ici la probabilité () qu'une variable () soit plus petite qu'une valeur () ; il s'agit de la fonction de répartition de la loi de probabilité de la durée d'une partie.
C'est dans la thèse de Nicolas Bernoulli, publiée en 1711, qu'apparaît pour la première fois la loi uniforme.. Certaines autres lois font alors leur apparition, comme la loi binomiale ou la loi normale, même si leurs approches ne sont pas complètement rigoureuses. Par exemple, la loi normale est construite par Abraham de Moivre grâce à la courbe de Gauss par une approximation numérique.. Au , d'autres idées liées aux lois de probabilité émergent également, comme l'espérance d'une variable aléatoire discrète avec Jean le Rond D'Alembert ou les probabilités conditionnelles avec Thomas Bayes. Quelques lois de probabilité continues sont énoncées dans un mémoire de Joseph-Louis Lagrange en 1770.
L'utilisation rigoureuse des lois de probabilité se développe à partir du dans des sciences appliquées, telles que la biométrie avec Karl Pearson. ou la physique statistique avec Ludwig Boltzmann.
La définition formelle des mesures de probabilités commence en 1896 avec une publication d'Émile Borel. et se poursuit avec plusieurs autres mathématiciens tels que Henri-Léon Lebesgue, René Maurice Fréchet, Paul Lévy et notamment Andreï Kolmogorov qui formule les axiomes des probabilités en 1933.
Définition mathématique En théorie des probabilités, une loi de probabilité est une mesure dont la masse totale vaut 1. En particulier, cette mesure vérifie les trois axiomes des probabilités.
Le triplet est appelé espace probabilisé. Une loi de probabilité est également appelée distribution de probabilité pour une étude plus appliquée.
Une manière usuelle d'expression d'une loi est l'utilisation d'une variable aléatoire puisque, pour toute loi de probabilité sur , il existe une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (potentiellement différent de ) et de loi . Les lois les plus couramment étudiées en théorie des probabilités sont les lois à valeurs réelles ; elles peuvent être représentées à l'aide d'une variable aléatoire réelle par la définition suivante.
Ainsi, pour définir la loi d'une variable aléatoire, on transporte la loi de probabilité sur en une mesure sur .
La représentation d'une loi par une variable aléatoire n'est pas unique. Autrement dit, deux variables aléatoires différentes, ou même définies sur des espaces différents, peuvent avoir la même loi. Deux variables aléatoires réelles et ont même loi si (en termes d'égalité de mesures). C'est-à-dire : pour tout . Le théorème suivant permet d'utiliser une autre caractérisation :
L'intégrale apparaissant dans le dernier terme est l'intégrale, au sens de la théorie de la mesure, de la fonction par rapport à la mesure . Cette intégrale prend la forme d'une somme dans le cas des lois discrètes.
Ainsi, deux variables aléatoires réelles et ont même loi si : pour toute fonction telle qu'au moins un des deux termes de l'égalité ait un sens.
Ce résultat est appelé en anglais.
Loi multidimensionnelle thumb|alt=Nappe bleue bombée en son centre|Loi normale bidimensionnelle, ou produit de deux lois normales unidimensionnelles.
Intuitivement, une loi de probabilité est dite multidimensionnelle, ou n-dimensionnelle., si elle décrit plusieurs valeurs (aléatoires) d'un phénomène aléatoire. Par exemple lors du jet de deux dés, la loi de probabilité des deux résultats obtenus est une loi bidimensionnelle. Le caractère multidimensionnel apparaît ainsi lors du transfert, par une variable aléatoire, de l'espace probabilisé vers un espace numérique de dimension n. Dans l'exemple des deux dés, la dimension est n = 2 et l'espace est . La loi est également appelée loi jointe..
Un exemple important de loi multidimensionnelle est la loi de probabilité produit où et sont deux lois unidimensionnelles. Cette loi de probabilité est la loi d'un couple de variables aléatoires indépendantes., c'est le cas de l'exemple des deux dés.
La variable aléatoire est alors identifiée. à un vecteur aléatoire à n dimensions : . Le théorème de Cramer-Wold. assure que la loi (n-dimensionnelle) de ce vecteur aléatoire est entièrement déterminée par les lois (unidimensionnelles) de toutes les combinaisons linéaires de ses composantes : pour tous .
thumb|alt=3 schémas en noir et blanc. À gauche, un nuage de points en triangle, à gauche, deux courbes|Les deux coordonnées (dimension 1 et dimension 2) des points s'approchent chacune d'une loi normale. C'est-à-dire qu'il s'agit d'une simulation de loi bidimensionnelle dont les deux lois marginales sont normales.
Cas d'une loi absolument continue Une loi bidimensionnelle (ou n-dimensionnelle) est dite absolument continue sur si la loi est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue sur , c'est-à-dire si la loi de la variable aléatoire correspondante s'écrit sous la forme :
pour tout
Lois marginales
Intuitivement, la loi marginale d'un vecteur aléatoire est la loi de probabilité d'une de ses composantes. Pour l'obtenir, on projette la loi sur l'espace unidimensionnel de la coordonnée recherchée. La loi de probabilité de la i-ème coordonnée d'un vecteur aléatoire est appelée la i-ème loi marginale.. La loi marginale de s'obtient par la formule : pour tout . Les lois marginales d'une loi absolument continue s'expriment à l'aide de leurs densités marginales.
Loi conditionnelle thumb|upright=1.5|alt=Arbre binaire à deux étages orienté de gauche à droite|Exemple d'utilisation d'une loi conditionnelle : « + » signifie que l'individu est positif au test de drogue ; « U » signifie que l'individu est consommateur de drogue. Ainsi, est la probabilité que le test soit positif sur un individu consommateur de drogue.
Intuitivement, une loi de probabilité conditionnelle permet de décrire le comportement aléatoire d'un phénomène lorsque l'on connaît une information sur ce processus. Autrement dit, la probabilité conditionnelle permet d'évaluer le degré de dépendance stochastique entre deux évènements.. Par exemple, lors d'un lancer de dés, la loi conditionnelle permet de donner la loi de la somme des résultats sachant que l'un des deux dés a donné un résultat d'au moins quatre.
Définition sur les évènements La probabilité conditionnelle se définit., de manière la plus intuitive, sur les évènements par la probabilité d'un évènement A conditionnellement à un autre événement B. Pour tout A et B de la tribu sous-jacente tels que :
La loi de probabilité. est utilisée dans les probabilités et statistique élémentaires, pour la formule des probabilités totales ou le théorème de Bayes par exemple.
Définition pour les variables aléatoires La probabilité conditionnelle est également définie pour les variables aléatoires. On étudie alors la loi d'une variable X conditionnellement à une variable Y. Lorsque , la loi de X sachant Y = y est définie par :
Cependant, cette définition n'est pas valide si la loi de Y est absolument continue puisque , pour tout y. La définition suivante est valide pour tout couple de variables aléatoires.
Définition pour les tribus De manière plus générale, la loi de probabilité se définit à partir de l'espérance conditionnelle d'une variable aléatoire X sachant une tribu . Cette espérance conditionnelle est l'unique variable aléatoire -mesurable, notée et vérifiant : pour toute Z, variable -mesurable. La loi conditionnelle est alors définie par. :