En théorie des probabilités et en statistique, la loi binomiale modélise la fréquence du nombre de succès obtenus lors de la réalisation de plusieurs expériences aléatoires identiques et indépendantes.
Plus mathématiquement, la loi binomiale est une loi de probabilité discrète décrite par deux paramètres : le nombre d'expériences réalisées, et la probabilité de succès. Pour chaque expérience appelée épreuve de Bernoulli, on utilise une variable aléatoire qui prend la valeur lors d'un succès et la valeur sinon. La variable aléatoire, somme de toutes ces variables aléatoires, compte le nombre de succès et suit une loi binomiale. Il est alors possible d'obtenir la probabilité de succès dans une répétition de expériences :
Cette formule fait intervenir le coefficient binomial duquel provient le nom de la loi.
L'importance de cette loi est d'abord historique puisqu'elle a été l'objet d'étude du théorème de Moivre-Laplace, résultat du fondateur des théorèmes de convergence. Une loi binomiale peut également être utilisée pour modéliser des situations simples de succès ou échec tel un jeu de pile ou face par exemple, ou également une marche aléatoire sur une ligne droite. Le calcul de sa fonction de masse devient rapidement fastidieux lorsque est grand, il est alors possible d'utiliser des approximations par d'autres lois de probabilité telles que la loi de Poisson ou la loi normale et d'utiliser des tables de valeurs.
La loi binomiale est utilisée dans divers domaines d'étude, notamment à travers des tests statistiques qui permettent d'interpréter des données et de prendre des décisions dans des situations dépendant de l'aléa. De par la simplicité de sa définition, c'est l'une des lois de probabilité étudiées dans les cours d'introduction à la théorie des probabilités.
Explication intuitive gauche|vignette|Pile ou face.|199x199px
Premiers exemples
Pile ou face On considère n lancers successifs d'une pièce de monnaie. Alors le nombre de fois où la pièce apparaît du côté pile suit la loi binomiale où le nombre d'expériences réalisées est n et où la probabilité de succès est .
Lancer de dé On considère n lancers successifs d'un dé à 6 faces. Alors le nombre de fois où l'on obtient un 1, suit la loi binomiale où le nombre d'expériences réalisées est n et où la probabilité de succès est .
Définition intuitive Une loi de Bernoulli décrit le comportement d'une expérience aléatoire qui possède deux résultats possibles traditionnellement appelés succès et échec.. Une telle expérience s'appelle une épreuve de Bernoulli. Par exemple, lors d'un lancer de pile ou face, on peut considérer qu'obtenir face est un succès et obtenir pile est un échec. Dans ce modèle, la probabilité de succès est une valeur fixe, c'est-à-dire qui reste constante à chaque renouvellement de l'expérience aléatoire. Cette probabilité de succès est notée p. On peut noter sa loi de probabilité :
On considère la situation où une telle expérience aléatoire (deux résultats possibles et une probabilité fixe) est répétée un certain nombre de fois de manière indépendante ; on note ce nombre de fois. Cette répétition indépendante d'épreuves de Bernoulli s'appelle un schéma de Bernoulli ou simplement des épreuves de Bernoulli.. Une loi binomiale décrit le nombre de fois où le succès apparaît sur les expériences effectuées. Le nombre de succès obtenus étant une valeur aléatoire, une loi binomiale est décrite grâce à la donnée des probabilités que le succès apparaisse précisément fois sur les essais.
Arbre de probabilité vignette|alt=arbre de probabilité|upright=1.5|Arbre de probabilité pour une loi binomiale associée à 3 épreuves de Bernoulli.|gaucheUne manière visuelle de représenter une suite d'expériences est d'utiliser un arbre de probabilité. Chaque épreuve est représentée par deux branches : l'une pour le succès, l'autre l'échec. À chaque extrémité, on rajoute deux branches (succès et échec) pour l'épreuve suivante. On recommence jusqu'au nombre total d'épreuves. À chaque extrémité finale, on peut compter le nombre de succès obtenus. Il suffit de multiplier le nombre de fois où il y a succès par la probabilité d'obtenir succès pour obtenir la probabilité correspondante de la loi binomiale.
Par exemple, on lance 3 fois de suite un dé équilibré à six faces et on s'intéresse au nombre de fois que le apparaît. Il apparaît 0, 1, 2 ou 3 fois. Chaque lancer est indépendant des autres et la probabilité d'obtenir le est de sur chacun d'entre eux, autrement dit la probabilité qu'il n'apparaisse pas est de à chaque lancer. Ainsi, pour chaque lancer, on considère une loi de Bernoulli de paramètre . Il y a trois configurations pour obtenir une seule fois le : il apparaît au premier lancer ou au deuxième ou au troisième. Chacune de ces issues a la même probabilité d'apparaître : . La probabilité pour avoir une fois le est alors : . On retrouve bien pour une loi binomiale . Il est possible de retrouver les autres probabilités de la même façon.
Définition mathématique La loi binomiale est une loi de probabilité discrète à deux paramètres : et . Il est fréquent d'utiliser également le paramètre pour avoir des expressions plus concises. Elle possède plusieurs définitions équivalentes :
vignette|upright=1.5|alt=fonctions de masse d'unela loi binomiale| Diagrammes en bâtons de trois fonctions de masse de lois binomiales. Les paramètres sont et (en bleu), (en vert) et (en rouge).
On rappelle que des variables aléatoires et de loi discrète sont indépendantes si .
La fonction de masse donnée dans la définition 3 a bien un sens puisque la formule du binôme de Newton donne. : . La définition 2 est l'écriture mathématique de la définition 1..
La définition 3 est équivalente aux deux autres : on calcule explicitement la probabilité que succès apparaissent dans essais. Puisque les répétitions sont indépendantes, la probabilité d'obtenir succès et donc échecs est : , dans le cas où on ne tient pas compte de la place des résultats.. Il suffit alors de s'intéresser à la place des succès et échecs. C'est-à-dire, combien y a-t-il de manière de placer succès parmi résultats (sans s'occuper de l'ordre entre les succès) ? C'est le nombre de combinaisons de éléments parmi éléments. donné par le coefficient binomial . On retrouve alors la fonction de masse de la définition 3.
Notation Le fait qu'une variable aléatoire suive une loi binomiale de paramètres et est noté : ; ou .
Mesure de probabilité Puisque la loi binomiale est une loi discrète, il est possible de la définir grâce à sa mesure de probabilité. : , où est la mesure de Dirac au point .
Historique vignette|upright=0.75|alt=Schéma constitué de formes géométriques|La planche de Galton : les billes rouges (les points rouges sur la figure) empilées dans le bas de l'appareil correspondent à la fonction de masse de la loi binomiale, la courbe bleue correspond à la densité de la loi normale. La loi binomiale fait partie des plus anciennes lois de probabilités étudiées. Elle a été introduite par Jacques Bernoulli qui y fait référence en 1713 dans son ouvrage Ars Conjectandi. Entre 1708 et 1718, on découvre aussi la loi multinomiale (généralisation multi-dimensionnelle de la loi binomiale), la loi binomiale négative ainsi que l'approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson, la loi des grands nombres pour la loi binomiale et une approximation de la queue de la loi binomiale..
Grâce à l'expression de sa fonction de masse, la loi binomiale a été utilisée par plusieurs scientifiques pour réaliser des calculs dans des situations concrètes. C'est le cas d'Abraham de Moivre. qui réussit à trouver une approximation de la loi binomiale par la loi normale, il publie d'abord ses résultats en 1733 en latin. : , puis les traduit pour les publier en 1738 dans La Doctrine des chances. En 1812, Pierre-Simon de Laplace reprend ces travaux. Francis Galton crée la planche de Galton qui permet d'avoir une représentation physique de cette convergence. En 1909, Émile Borel énonce et prouve, dans le cas de la loi binomiale, la première version de la loi forte des grands nombres..
Plus récemment, en 1914, McKendrick démontre que la loi binomiale est la solution d'un processus simple de naissance et d'émigration.. D'après les travaux de William Feller en 1957, elle peut aussi être vue comme la loi stationnaire pour le modèle des urnes d'Ehrenfest. Cette même année, Haight montre que la loi binomiale est liée à un problème de file d'attente.
La loi binomiale apparaît dans de nombreuses applications au . : en génétique, en biologie animale, en écologie végétale, pour les tests statistiques, dans différents modèles physiques tels que des réseaux téléphoniques. ou le modèle des urnes d'Ehrenfest, etc.
Le nom « binomiale » de cette loi provient de l'écriture de sa fonction de masse (voir ci-dessous) qui contient un coefficient binomial issu du développement du binôme : .
Représentation sous la forme d'un arbre
vignette|Représentation de la loi binomiale sous forme d'un arbre. Puisque la loi binomiale est une suite d'épreuves de Bernoulli, il est possible de la représenter grâce à un arbre de probabilité : chaque nœud représente le résultat d'une épreuve, les probabilités de succès et d'échecs sont représentés par deux branches distinctes rattachées à un nœud. Le graphique est donc un arbre binaire équilibré. Un arbre contenant générations correspond à une loi binomiale .
Si on indique les résultats de chaque épreuve sur les arêtes de l'arbre, il est possible de visualiser les différentes issues de la loi binomiale.. Si ce sont les valeurs des probabilités qui sont indiquées sur les arêtes, alors les probabilités de la loi binomiale apparaissent au bout des branches. (voir le graphique ci-contre).
Le graphique est un arbre de probabilité pour une loi binomiale de paramètre . Sur chaque branche sont indiquées les probabilités des différentes issues : par exemple branches droite, gauche puis droite ; c'est-à-dire échec, succès puis échec. Au bout des branches de l'arbre, apparaissent les probabilités de chaque issue de la loi binomiale . C'est-à-dire pour les valeurs ou , on obtient , , et . On retrouve ainsi les différents coefficients binomiaux :
Propriétés
Moments Les plus connus sont l'espérance et la variance, que l'on déduit classiquementSuivre par exemple le lien en bas de cette page vers la leçon sur Wikiversité. de la définition 2 ci-dessus : .
Les moments factoriels de la loi binomiale de paramètres et sont., . :
Par conséquent., ses moments ordinaires sont. :
avec comme premières valeurs. :
(espérance)
On peut aussi les obtenir par la formule de récurrence
où le terme désigne la dérivée par rapport à la variable .
Les moments inverses, c'est-à-dire avec , sont infinis..
Moments centrés
Les moments centrés sont les moments de la différence entre la variable et sa moyenne..
; (variance)
L'expression de la variance donne l'écart type. : .
Les moments centrés se calculent aussi par cette autre relation de récurrence. :
Écart moyen L'Écart moyen (ou déviation moyenne) est la moyenne des écarts à la moyenne ; il est donné par :
où est la partie entière de .
Par exemple, si , , valeur à comparer avec l'écart-type : .
Fréquence de succès Grâce aux formules précédentes, on obtient les moments de la fréquence des succès : :
moment d'ordre (ou espérance) de la fréquence de succès moment centré d'ordre (ou variance) de la fréquence de succès moment centré d'ordre de la fréquence de succès
L'expression de la variance de la fréquence donne l'écart type de la fréquence des succès : .
Covariance On considère deux variables aléatoires et , pas forcément indépendantes, de lois binomiales respectives et . La covariance permet d'évaluer la dépendance entre les deux variables : .
Propriétés et caractérisations Valeurs descriptives de la loi