En mathématiques, un espace T (ou espace accessible, ou de FréchetUn espace de Fréchet a un sens totalement différent en analyse fonctionelle.) est un cas particulier d'espace topologique, obéissant à l'axiome T des axiomes de séparation.

Définition Un espace topologique est dit T si pour tout couple d'éléments distincts , il existe un voisinage de x qui ne contient pas y et il existe un voisinage de qui ne contient pas .

Dans un espace T, le « et » est seulement un « ou » ; montrant au passage que tout espace T est T.

Propriétés Caractérisation Un espace topologie est T si et seulement si les singletons sont fermés. On en déduit que toute partie finie est fermée et que tout singleton est l'intersection de ses voisinages.

Liens avec les autres axiomes de séparation

L'axiome de séparation T est plus fort que T , ainsi tous les espaces T sont T. Cependant la réciproque est fausse : la est un exemple d'espace T qui n'est pas T. De façon analogue, tous les espaces T sont T, en particulier les espaces métriques sont T. Mais réciproque est aussi fausse : certains espaces, comme la topologie cofinie sur un ensemble infini, sont T sans être T.

Stabilité par sous-espace et produit Le caractère T est stable par passage au sous-espace et par formation de produits. En effet, un sous-espace d'un espace T hérite naturellement de cette propriété pour la topologie induite. De plus pour une famille d'espaces T, le produit est aussi T, car pour tout point , le singleton s'écrit comme qui est fermé.

Points limites On définit ici un point limite d'une partie comme étant tel que tout voisinage de admette au moins un élément de différent de .

On définit ici un point d'accumulation d'une partie comme étant tel que tout voisinage de admette une infinité d'éléments de .

Une propriété fondamentale est que dans un espace T, les notions de point limite et de point d'accumulation sont synonymes.

Ainsi, dans un espace T, si une partie admet un point limite, alors cette partie et donc l'espace sont infinis.

Exemples et contre-exemples Les espaces triviaux générés par l'ensemble vide ou un singleton sont trivialement T. Tout espace T est T. En particulier, les espaces métriques sont T. La topologie cofinie sur un ensemble infini et la topologie de Zariski sur une variété algébrique sont T mais pas T. Tout espace muni de la et la topologie de Zariski sur le spectre premier d'un anneau ne sont pas T mais sont T.

Histoire Les espaces T ont été introduits par Frigyes Riesz dans un article publié en 1909L'article est présenté à l'Académie hongroise des sciences le puis publié dans un journal allemand en 1909 .

Notes et références Notes

Références

Voir aussi Articles connexes Axiome de séparation (topologie)

Bibliographie

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