En théorie des probabilités, la loi multinomiale (aussi appelée distribution polynomialePierre Dagnélie, Statistiques théorique et appliquée, éditions de Boeck, Bruxelles, 2013.) généralise la loi binomiale. Tandis que la loi binomiale concerne le nombre de succès lors d'une série de épreuves de Bernoulli indépendantes, comme dans le jeu de pile ou face, la loi multinomiale ne se restreint pas aux épreuves comportant deux issues. La loi multinomiale s'applique par exemple au cas de jets d'un dé à six faces : l'apparition du seul peut être modélisée par une loi binomiale alors que l'ensemble des apparitions des à 6 est modélisé par une loi multinomiale.
Rappel sur la loi binomiale
vignette|gauche|redresse=.4|Pile ou face. On considère une pièce de monnaie où la probabilité d'obtenir « pile » est . On considère une variable aléatoire binomiale : il s'agit du nombre de « piles » obtenus pour lancers d'une pièce de monnaie. La loi de probabilité s'écrit
.
Cette expression peut se réécrire de manière symétrique en faisant intervenir deux variables aléatoires et dont la somme est égale à : est le nombre de « piles » obtenus durant lancers et est le nombre de « faces » obtenues durant ces lancers. Formellement,
.
Définition vignette|redresse=.6|Un dé à six faces. Dans le cas multinomial à résultats possibles au lieu de 2, les variables aléatoires deviennent , et correspondent aux probabilités , avec les contraintes
.
Par exemple, pour lancers d'un dé à six faces, est le nombre de fois où on obtient . Pour un dé non pipé, on a pour tout . Si le dé est pipé, alors les valeurs sont différentes.
La loi de probabilité s'écrit alors, sous la condition portant sur la somme des variables :
.
Propriétés Chacune des variables suit une loi binomiale dont l'espérance et la variance sont
et les covariances s'écrivent
.
Approximation
Approximation par loi normale Lorsque la variable aléatoire devient assez grande (par convention, au-delà de 30), le théorème central limite montre qu'elle est raisonnablement approchée par une variable normale à laquelle correspond la variable centrée réduite .
Références
Voir aussi
Articles connexes Coefficient multinomial
Liens externes
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