En mathématiques un anneau unitaire, parfois appelé anneau unifère mais souvent simplement appelé anneau, est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. Il s'agit d'un ensemble muni de deux opérations qui satisfont certaines des propriétés de l'addition et la multiplication des nombres entiers relatifs.
Aspect historique
L'étude des anneaux trouve son origine dans l'école allemande du . Elle est développée par les mathématiciens Dedekind, Hilbert, Fraenkel et Noether. Elle naît de l'étude des équations algébriques, des nombres algébriques et de la recherche d'une démonstration du grand théorème de Fermat. Elle conduira à un développement important de l'algèbre générale et de la géométrie algébrique.
Dans le Supplément de sa seconde édition des Leçons sur la théorie des nombres de Dirichlet, en 1871, Dedekind considère, à côté de la notion de corps (), l'anneau des entiers d'un corps de nombres algébriques ; il introduira un peu plus tard d'autres anneaux qu'il appelle ordres (). Mais c'est David Hilbert qui emploie le terme d'anneau () pour définir ce qui est toujours à l'époque un anneau commutatif unitaire, dans son Rapport sur les nombres () de 1897 pour la Deutsche Mathematiker-Vereinigung.
Définition
Définition par les structures algébriques inhérentes En termes algébriques, on munit un ensemble A d'une structure d'anneau unitaire en le munissant de deux lois de compositions internes (abrégé en LCI) (notées ici + et ×) telles que :
(A,+) soit un groupe abélien ; (A,×) soit un monoïde ; × soit distributive (à gauche et à droite) sur +.
Définition explicite En termes plus explicites, un anneau unitaire est un ensemble A dans lequel sont données deux lois de composition interne (LCI) notées + et × vérifiant les propriétés suivantes : Quels que soient les éléments a, b et c appartenant à l'ensemble A : : associativité de + : commutativité de + : associativité de × : distributivité à gauche de × sur + : distributivité à droite de × sur + Il existe un élément, noté 0 et appelé élément neutre de +, tel que pour tout élément a appartenant à l'ensemble A :
Tout élément a appartenant à l'ensemble A possède un opposé, noté –a, qui vérifie :
Il existe un élément, noté 1 et appelé élément neutre de ×, ou élément unité., tel que pour tout élément a appartenant à l'ensemble A :
Notations et conventions On dira simplement « anneau » plutôt que « anneau unitaire » (cf. ci-dessous).
On notera alors l'anneau ci-dessus (A,+,×). Mais on note usuellement A pour simplifier les notations (quoique ce soit bien entendu un abus de langage).
Pour les LCI, on se permettra les mêmes conventions notatives dans un anneau que dans ℤ :
Pour simplifier les notations, la LCI + suivra la notation additive, tandis que la LCI × suivra la notation multiplicative ; On considérera que × est prioritaire sur + (c'est-à-dire que l'on calcule les × avant les +).
En suivant ceci, on peut par exemple formuler de manière plus légère la distributivité à gauche donnée plus haut : .
Note terminologique : « anneau » ou « anneau unitaire » ?
Une minorité d'auteurs définissent un anneau sans exiger l'existence d'un élément neutre pour la multiplication. Le lecteur à la recherche d'informations sur cette structure, qui n'est pas l'objet du présent article, se réfèrera à l'article pseudo-anneau. Du fait de cette variabilité de définition, il peut être prudent lorsqu'on craint une confusion de préciser anneau unitaire (ou unifèreVoir par exemple :
, note 12 ; .
, définit bien le qualificatif « unifère » mais pour les magmas. Sa définition d'anneau suppose un élément neutre pour la multiplication. En l'absence de cette seule propriété, il parle de « pseudo-anneau ».) lorsqu'on évoque un anneau au sens de cet article, un anneau ayant un neutre multiplicatif.
Anneau commutatif Un anneau commutatif est un anneau dont la loi multiplicative est elle aussi commutative. En explicitant comme ci-dessus, il faut alors rajouter au premier point :
Exemples
Exemples d'anneaux commutatifs
L'ensemble à un seul élément {0} muni des opérations 0 + 0 = 0 et 0 · 0 = 0 est un anneau commutatif, appelé anneau nul, ou anneau trivial sous le nom d'« anneau trivial » ; sous le nom d'« anneau nul ».. L'ensemble ℤ des entiers relatifs, muni de l'addition et de la multiplication est un anneau commutatif.. Un corps commutatif est un anneau commutatif pour lequel tous les éléments non nuls sont inversibles pour la multiplication. Parmi beaucoup d'autres, l'ensemble ℚ des nombres rationnels, l'ensemble ℝ des nombres réels, l'ensemble ℂ des nombres complexes, munis de l'addition et de la multiplication usuelles, sont des corps commutatifs, donc des anneaux commutatifs.. L'ensemble des classes de congruence modulo un nombre entier strictement positif donné n est un anneau commutatif pour la loi provenant de la congruence ; il est noté ℤ/nℤ. L'ensemble des polynômes à coefficients dans un anneau commutatif est aussi un anneau commutatif..
Exemples d'anneaux non commutatifs Les endomorphismes d'un espace vectoriel forment un anneau, où la première loi est l'addition de fonction pour la loi + et la deuxième la composition (où l'énoncé est donné pour des modules, donc s'applique en particulier aux groupes abéliens).. Il n'est pas commutatif en général. L'anneau des matrices carrées de taille à coefficients dans un anneau unitaire est lui-même un anneau unitaire (le neutre multiplicatif étant la matrice identité ), non commutatif si . Les quaternions d'Hamilton constituent un corps non commutatif..
Contre-exemples L'ensemble ℕ des entiers naturels n'est pas un anneau, car ce n'est pas un groupe quand on le munit de l'addition : l'existence des opposés fait défaut. C'est un semi-anneau. L'ensemble 2ℤ des entiers (relatifs) pairs n'est pas un anneau, car sa multiplication n'a pas d'élément neutre.. C'est un pseudo-anneau. L'ensemble des octonions n'est pas un anneau, car sa multiplication n'est pas associative. On parle parfois d'. Pour tout groupe non trivial (G, +), le groupe (G, +) des applications de G dans G devient, lorsqu'on le munit de la composition ∘, un , mais pas un anneau même si G est commutatif, car la distributivité à gauche n'est pas vérifiée : on n'a pas f∘(g + h) = (f∘g) + (f∘h).
Et encore d'autres exemples On trouvera davantage d'exemples aux sections idoines des articles consacrés à des classes particulières d'anneaux, et notamment les articles anneau commutatif, anneau intègre et algèbre associative sur un corps.
La section « Construction d'anneaux » ci-dessous fournit également une liste plus complète et systématisée d'exemples.
Concepts de base
Morphismes
Un morphisme d'anneaux est une application f entre deux anneaux A et B qui est compatible avec leur structure, au sens précis suivant. :
Pour tous a, b dans A :
En particulier, si A et B sont unitaires, ce morphisme est dit unitaire si
Les applications suivantes sont des exemples de morphismes d'anneaux : La conjugaison de l'anneau des nombres complexes vers lui-même.. Ce morphisme est bijectif (on dit que c'est un automorphisme de ℂ) ; Pour n entier strictement positif, la projection de ℤ sur l'anneau ℤ/nℤ ; La fonction d'évaluation, qui associe à un polynôme P à coefficients réels sa valeur P(c) en un réel fixé c.
Les morphismes d'anneaux se composent entre eux, faisant de la classe des anneaux une catégorie.
Sous-anneaux
Une partie B d'un anneau A est appelée un sous-anneau de A lorsque : B est un sous-groupe additif de A B est stable pour la multiplication Le neutre multiplicatif de A appartient à B.
Voici quelques exemples de sous-anneaux :
L'anneau ℤ des entiers relatifs est un sous-anneau de l'anneau ℝ des nombres réels ; Les polynômes sans monôme du premier degré forment un sous-anneau de l'anneau de polynômes ℝ[X] ; Les fonctions continues de ℝ vers ℝ forment un sous-anneau de l'anneau de toutes les fonctions de ℝ vers ℝ.
Un morphisme d'anneaux injectif entre deux anneaux induit une identification entre son anneau de départ et un sous-anneau de son anneau d'arrivée..
Idéaux et anneaux-quotients
De façon duale quoiqu'un peu plus technique, la notion d'anneau quotient permet de décrire l'anneau d'arrivée d'un morphisme surjectif comme un quotient de l'anneau de départ. Sa définition repose sur la notion d'idéaux bilatères, qui sont les objets par lesquels on peut quotienter (ils sont en ce sens analogues aux sous-groupes distingués de la théorie des groupes).
Un idéal bilatère I d'un anneau A (ou simplement « idéal » quand aucune confusion n'est à craindre, notamment dans le cas commutatif) est un sous-groupe additif de A vérifiant : pour tout x de I et tout a de A, ax ∈ I et xa ∈ I. On définit un idéal à gauche (resp. à droite) comme un sous-groupe additif pour lequel on exige seulement la condition ax ∈ I (resp. xa ∈ I). Quoiqu'ils ne permettent pas la construction d'anneaux quotients, ce sont des concepts importants en théorie des anneaux non commutatifs.
Voici quelques exemples d'idéaux : Dans tout anneau A, {0} et A sont deux idéaux bilatères de A.. Dans un anneau commutatif A, l'ensemble des multiples d'un élément donné b (c'est-à-dire des ab, a parcourant A) est un idéal de A, dit idéal principal engendré par b. Par exemple, l'ensemble des multiples de 5 est un idéal de l'anneau ℤ. L'ensemble des polynômes à coefficients entiers dont le terme constant est pair est un idéal de l'anneau commutatif ℤ[X], qui n'est pas principal. Dans l'anneau non commutatif des matrices carrées à coefficients réels, l'ensemble des matrices dont la première colonne est nulle est un idéal à gauche, l'ensemble des matrices dont la première ligne est nulle est un idéal à droite. Il n'y a pas d'idéaux bilatères hormis les deux idéaux triviaux du premier exemple.
Un idéal bilatère I permet de construire un anneau quotient : le groupe quotient commutatif A/I peut être muni d'une multiplication qui en fait un anneau, la projection canonique de A sur A/I étant alors un morphisme surjectif. Comme annoncé en introduction à la sous-section, l'image de tout morphisme surjectif d'anneaux est isomorphe à un quotient de son anneau de départ (le quotient par le noyau du morphisme)..
Calcul dans un anneau
Muni de sa seule multiplication, un anneau est un monoïde particulier. Les définitions qui font sens dans ce cadre plus large (voire dans un cadre encore plus général) peuvent donc être utilisées pour dénommer des propriétés d'éléments de l'anneau. Sont entre autres pertinents en théorie des anneaux les concepts suivants, qui concernent tous la deuxième loi (la multiplication) :
ceux d'éléments permutables et d'élément central ; celui d'élément idempotent ; celui de puissances entières positives d'un élément (incluant la convention x = 1 pour tout x) ; ceux d'élément inversible (ou seulement d'élément inversible à gauche, ou inversible à droite), et de puissances à exposant négatif pour de tels éléments. Comme dans tout monoïde, les inversibles forment un groupe, qu'on appelle le groupe des unités de l'anneau.
Dans tout anneau : 0 est absorbant pour la multiplication (car a . 0 = a . (0 + 0) = a . 0 + a . 0 et, puisque tout élément est régulier pour l'addition, a . 0 = 0) ; (–a) ∙ b = –(a ∙ b) (car (–a) ∙ b + (a ∙ b) = (–a + a) ∙ b = 0 ∙ b = 0) ; a ∙ (–b) = –(a ∙ b) (de même) ; en particulier, (–1) ∙ x = x ∙ (–1) = –x (donc (–1) ∙ (–x) = (–x) ∙ (–1) = –(–x) = x).
Dans un anneau, il est généralement impossible de simplifier dans une multiplication sans précautions. On sait par exemple que si des matrices carrées A, B et C vérifient l'identité AB = AC, on ne peut en déduire que B = C et ce même si A n'est pas la matrice nulle. Les deux concepts qui suivent permettent d'analyser ces défauts de simplification :