thumb|Diagramme représentatif d'une application entre deux ensembles. En mathématiques, une application est une relation entre deux ensembles pour laquelle chaque élément du premier (appelé ensemble de départ ou source) est relié à un unique élément du second (l’ensemble d'arrivée ou but). Le terme est concurrencé par celui de fonction, bien que celui-ci désigne parfois plus spécifiquement les applications dont le but est un ensemble de nombres et parfois, au contraire, englobe plus largement les relations pour lesquelles chaque élément de l'ensemble de départ est relié à au plus un élément de l'ensemble d'arrivée.

Une application peut avoir des valeurs non numériques, comme celle qui associe à chaque élève d’une classe sa ville de naissance, ou l’application qui à chaque carte d’un jeu de 32 cartes associe sa couleur.

Une application est donc un objet issu de la théorie des ensembles, défini par son graphe et associé aux notions d'image et d'antécédent. Elle peut être injective ou surjective selon l'unicité ou l'existence d'un antécédent pour chaque élément de l'ensemble d'arrivée. Une application possédant ces deux propriétés est une bijection, qui admet alors une application réciproque. Les applications peuvent aussi être composées ou restreintes à un sous-ensemble de leur ensemble de départ.

En dehors du contexte de l'analyse, le terme est spécifié entre autres en géométrie affine, en algèbre linéaire, en topologie et dans la théorie des systèmes dynamiques. Il est parfois remplacé par celui d'opérateur ou de morphisme, voire de flèche, notamment en théorie des catégories.

Fonction et application La notion de fonction en tant que correspondance entre deux types d'objet est relativement ancienne. Mais le terme n'apparait qu'à la fin du sous la plume de Leibniz en 1694, ., il s'agit alors de fonction associée à une courbe géométrique : Leibniz dit ainsi que l'abscisse, l'ordonnée ou le rayon de courbure d'une courbe en un point M est une fonction du point M. Dans la même époque, Newton parle de fluente pour des quantités dépendant d'une variable qu'il appelle le temps (tout en précisant que le rôle joué par le temps, peut l'être par une autre quantité). La notation sous la forme f ne s'est pas mise en place tout de suite. Jean Bernoulli propose en 1698 d'appeler X une fonction de x, puis fx en 1718.. Leibniz invente une notation permettant de travailler sur plusieurs fonctions différentes : et sont ainsi deux fonctions dépendant de x. Euler reprend la notation fx en 1734. Les fonctions sont alors toujours à valeurs numériques (réelles ou complexes) et possèdent en outre des propriétés restrictives (liées à une équation algébrique, continuité eulérienne, développable en série entière...).

Parallèlement se développe, en géométrie, la notion d'application pour des correspondances ponctuelles.

La notion de fonction (ou application) est généralisée d'abord à plusieurs variables numériques, à une variable qui est une courbe (Vito Volterra), puis Maurice Fréchet en 1904 et Eliakim Hastings Moore prennent l'argument dans un ensemble arbitraire, et Fréchet en 1909 la valeur de la fonction également.

Tout au cours du , dans de nombreux ouvrages universitaires, les termes de fonction et d'application sont synonymes.Pour Walter Rudin (Analyse réelle et complexe, Masson, 1978, ), les termes fonction, application et transformation sont synonymes.Pour Roger Godement (Analyse mathématique I, Springer, 1998, ), on peut dire indifféremment « Soit f une fonction définie sur X à valeurs dans Y » ou « Soit f une application de X dans Y ».. On introduit parfois certaines nuances : le terme fonction est employé plutôt dans le cas où l'ensemble d'arrivée est numérique, et parfois lorsque l'ensemble de définition n'est pas égal à l'ensemble de départLucien Chambadal, Dictionnaire des mathématiques modernes, article « fonction », Larousse, 1969..

Dans les années 1950, l'école Bourbaki tente de définir précisément les deux notions. Ainsi peut-on lire dans un projet de rédaction du Livre I, Chapitre II des Éléments de 1954Nomenclature des rédactions Boubaki, sur les archives de l'association, Archive 53, les définitions suivantes : La relation R(x,y) est appelée une relation fonctionnelle de type (T × U) si elle satisfait à la condition suivante : quel que soit x, il existe au plus un y tel R(x,y). À toute relation fonctionnelle, on attache un objet nouveau que l'on appelle une fonctionProjet de rédaction du Livre I, Chapitre II des Éléments Archive 53, . ; On appelle champ de définition de la fonction f l'ensemble des éléments x de pour lesquels il existe y tel que R(x,y). C'est une partie E de . On dit que f est définie sur E et dans Chapitre II, . ; Au lieu de parler d'une fonction définie sur E et prenant ses valeurs dans F, on parle d'une application de E dans FProjet de rédaction du Livre I, Chapitre II des Éléments Archive 53, ..

Même si, dans la rédaction finale des Éléments de 1970, p. E II.13, Définition 9., la fonction est toujours définie sur son ensemble de départ, cette distinction est reprise dans l'enseignement français du secondaire, premier et second cycle, quand, à la suite de la Commission Lichnerowicz, se mettent en place les nouveaux programmes, à partir de 1968. Ainsi voit-on dès la , illustrées par des diagrammes sagittaux, les définitions suivantes Collection Cossart et Théron, Mathématiques, Classe de , Bordas, 1969, . : les relations telles que, de chaque élément de l'ensemble de départ, il part au plus une flèche, s'appellent des fonctions ; les relations telles que, de chaque élément de l'ensemble de départ, il part exactement une flèche, s'appellent des applications. En pratique, le fait qu'il suffise de réduire l'ensemble de départ d'une fonction à son ensemble de définition pour la transformer en application rend peu utile ce distinguo.

Cette distinction ne commence à disparaitre des ouvrages scolaires qu'à partir de 1985, à l'adoption de nouveaux programmes mais on trouve encore des ouvrages récents dans lesquels cette distinction est présenteS. Ferrigno , , Dunod, 2013.Alain Droguet, , Bréal, 2003.Catherine Berdonneau et Françoise Cerquetti-Aberkane, , Hachette éducation, 2007..

Définition La définition usuelle en mathématiques d'une fonction est donc ensembliste et présuppose essentiellement celle de couple et de produit cartésien. Une application ou fonction est un triplet f = (E, F, G) avec une relation binaire G ⊂ E × F, et qui vérifie que pour tout x de E il existe un unique y de F tel que le couple (x, y) appartienne à G. Exactement dans ce cas, une application fG donnée comme relation binaire G ⊂ E × F est dite bien définie. L'ordre des ensembles du triplet est arbitraire et on trouve d'ailleurs des variations suivant les ouvrages. La propriété caractéristique peut se décomposer en deux clauses, . : Existence. Unicité. En d'autres termes ceci signifie que G intersecte chaque sous-ensemble {x} × F, en un unique point, dont l'existence est donnée par la première clause, et l'unicité par la seconde. Ce point, élément de F, est appelé image de x par l'application f et noté f(x). Pour bien distinguer l'image d'un élément de E, qui est un élément de F, de l'image de f, qui est un sous-ensemble de F, on parle parfois dans ce dernier cas d’ensemble image de f.

On dit également que f associe à x l'élément f(x), ou encore que f envoie x sur f(x). Les formes passives « x est envoyé par f sur f(x) », « f(x) est associé à x par f » sont aussi utilisées.

Si x, élément de E, vérifie f(x) = y, on dit que x est un antécédent de y. Un élément y de F peut très bien avoir plusieurs antécédents ou n'en avoir aucun.

Pour une fonction de E dans F qui à x associe f(x) on note :

par exemple pour la fonction de la variable réelle qui à un nombre associe son carré :

Dans l'exemple précédent on a utilisé la structure des réels pour définir la fonction. Pour un ensemble E quelconque on peut toujours définir l’identité ou application identique, qui associe à tout élément x de E l'élément x lui-même. Son graphe est la diagonale du produit cartésien E × E, le sous-ensemble défini par la relation x = y.

La seule application à valeurs dans l'ensemble vide est (∅, ∅, ∅), p. E II.14..

Si F est non vide, alors on peut associer à tout élément b de F, une application dite application constante de E dans F, qui associe à tout élément de E l'élément b. Son graphe est donc E × {b}.

On utilise parfois d'autres terminologies et d'autres notations. Les fonctions définies sur l'ensemble N des entiers naturels (ou une partie de celui-ci) sont souvent appelées suites, par exemple les suites réelles sont les fonctions de N dans l'ensemble R des réels. On utilise alors la notation indicielle : (un)n ∈ N désigne la suite, écriture qui peut être abrégée en (un), et un désigne l'image par cette suite de l'entier n.

Cette notation s'étend aux familles, indexées par I d'éléments d'un ensemble F donné, qui sont, avec une autre notation et une autre terminologie, des fonctions de I dans F.

Ensemble des applications entre deux ensembles

L'ensemble des applications de E dans F est souvent noté F. Son cardinal ne dépend que des cardinaux respectifs de E et F : |F| = |F||E|.

Opérations sur les applications

Restriction : soit une application de dans , et soit un sous-ensemble de . La restriction de à , notée , est l'application de dans qui à tout élément de associe l'élément de . Autrement dit, si on note le graphe de , est l'application de dans de graphe . Corestriction : la corestriction est l'opération analogue de la restriction, sur un sous-ensemble de l'ensemble d'arrivée, mais si l'on veut que celle-ci reste une application, on ne peut restreindre l'ensemble d'arrivée F de f qu'à un sous-ensemble de F contenant l'ensemble image de f. On a alors la définition suivante : soit une application de dans , et soit un sous-ensemble de contenant . La corestriction de à , notée , est l'application de dans qui, à tout élément de , associe l'élément de . Cette application a même ensemble de départ et même graphe que , mais pas même ensemble d'arrivée. Prolongement : soient deux applications f de E dans F de graphe G, et f’ de E’ dans F’ de graphe G’. On dit que f’ est un prolongement de f quand :(Pour un cas particulier en mathématiques élémentaires, voir Prolongement d'un ensemble de définition.) Composition : la composition de deux applications f de dans et g de dans se note . C'est une application de dans définie, pour tout élément x de , par :Si le graphe de f est et le graphe de g est , le graphe de est :

Injectivité et surjectivité

Une application f de E dans F est dite injective, ou encore est une injection, lorsque tout élément de l'ensemble d'arrivée de f a au plus un antécédent dans l'ensemble de départ par f, ce qui peut s'écrire :

. ou encore par contraposée : .

La composée de deux injections est une injection et, inversement, si pour une certaine fonction , o est une injection, alors est une injection.

Une application de dans est dite surjective, ou encore est une surjection, lorsque tout élément de l'ensemble d'arrivée est image par f d'au moins un élément de l'ensemble de départ, ce qui s'écrit :En d'autres termes, est surjective si et seulement si son ensemble image est l'ensemble d'arrivée tout entier.La composée de deux surjections est une surjection et, inversement, si est une surjection, alors est une surjection. Une application f est dite bijective, ou encore est une bijection, lorsque cette application est à la fois injective et surjective, c'est-à-dire que tout élément de son ensemble d'arrivée a un antécédent et un seul par f dans l'ensemble de départ, ce qui s'écrit : La composée de deux bijections est une bijection mais inversement, si la composée o de deux applications est une bijection, on peut seulement en déduire que est une injection et que est une surjection.

Application réciproque