En analyse mathématique, la ou relie deux fonctions à valeurs dans ou , formalisant la notion que l'une devient insignifiante devant l'autre au voisinage d'un point ou de l'infini.
Par exemple, avec et , quand , devient arbitrairement petit devant . On dit alors que est négligeable devant ou que est prépondérante devant au voisinage de l'infini, ce que l'on note
Avec la domination et l'équivalence, la négligeabilité est une relation de comparaison. Elle est transitive, mais n'est ni réflexive, ni symétrique.
Définition
Soient et deux fonctions définies sur une partie de à valeurs dans ou , et soit un point adhérent à ( peut être un réel, ou ).
Ce qui est équivalent à :
Une autre caractérisation plus commode dans le cas où ne s'annule pas au voisinage de est :
On écrit alors , qui se lit « est un petit de au voisinage de ». C'est une des notations de Landau.
Dans le cas où ne s'annule pas au voisinage de mais s’annule en , f est négligeable devant g au voisinage de si :
et si
Propriétés Si et alors . Si et alors , en particulier, si et est bornée au voisinage de , alors . Si et , ou si et , alors en particulier, est transitive. .
Partie principale d'une fonction par rapport à une échelle
Échelle de comparaison Une échelle de comparaison est. une famille de fonctions définies au voisinage de (sauf peut-être en ), non équivalentes à 0 en , telle que : .
Définition Soient une fonction définie dans un voisinage de (sauf peut-être en ), ne s'annulant pas sur , et une échelle de comparaison en .
On dit que admet la fonction comme partie principale par rapport à l'échelle s'il existe un réel non nul tel que (ou )..
Propriétés Unicité en cas d'existence Soient et admettant respectivement et comme partie principale par rapport à l'échelle de comparaison . La partie principale de par rapport à l'échelle de comparaison est la même que celle de . Si alors est la partie principale de par rapport à l'échelle de comparaison . Si et alors est la partie principale de par rapport à l'échelle de comparaison .
Comparaison pour les suites Une suite n'est qu'un cas particulier de fonction, définie sur , auquel est adhérent.
Par conséquent, une suite de nombres réels est négligeable devant une suite réelle si et seulement si : il existe une suite de limite nulle telle que, à partir d'un certain rang, ou encore : , ce qui, lorsque ne s'annule pas à partir d'un certain rang, équivaut à : .
On note : .
Références
Voir aussi
Propriété N de Luzin
Catégorie:Analyse réelle Negligeable