En analyse, l'équation biharmonique est une équation aux dérivées partielles d'ordre 4, qui apparaît par exemple dans la théorie de l'élasticité. L'équation biharmonique pour une fonction s'écrit :
où est l'opérateur nabla et l'opérateur laplacien. L'opérateur est aussi connu sous le nom d'opérateur biharmonique ou bilaplacien.
Dans le cas tridimensionnel, dans un système de coordonnées cartésiennes, l'équation biharmonique s'écrit :
Dans un espace euclidien de dimension , la relation suivante est toujours vérifiée :
avec la distance euclidienne :
.
ce qui, pour , est solution de l'équation biharmonique.
Une fonction qui est solution de l'équation biharmonique est appelée fonction biharmonique. Toute fonction harmonique est biharmonique — la réciproque n'est pas vraie.
L'opérateur biharmonique en coordonnées polaires s'écrit :
La solution peut alors s'obtenir par séparation des variables ; c'est la .
Pour certaines simulations numériques, on pourra utiliser la version discrète du bilaplacien.
Références
Voir aussi Liens internes Fonction harmonique Opérateur bilaplacien Liens externes
Bibliographie Eric W Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, CRC Press, 2002. . S I Hayek, Advanced Mathematical Methods in Science and Engineering, Marcel Dekker, 2000. . J P Den Hartog, Advanced Strength of Materials, Courier Dover Publications, Jul 1, 1987. .
Catégorie:Analyse à plusieurs variables