vignette|La géométrie algébrique est l’étude des géométries qui proviennent de l’algèbre. Elle comprend l’étude des propriétés géométriques de solutions aux équations polynomiales. La surface cubique de Cayley, définie par un polynôme de degré 3, est la surface cubique unique ayant quatre points doubles ordinaires. La géométrie algébrique est un domaine des mathématiques qui, historiquement, s'est d'abord intéressé à des objets géométriques (courbes, surfaces…) composés des points dont les coordonnées vérifiaient des équations ne faisant intervenir que des sommes et des produits (par exemple le cercle unité dans le plan rapporté à un repère orthonormé admet pour équation ). La simplicité de cette définition fait qu'elle embrasse un grand nombre d'objets et qu'elle permet de développer une théorie riche. Les besoins théoriques ont contraint les mathématiciens à introduire des objets plus généraux dont l'étude a eu des applications bien au-delà de la simple géométrie algébrique ; en théorie des nombres par exemple, cela a conduit à une preuve du grand théorème de Fermat.

Cette branche des mathématiques n'a désormais plus grand-chose à voir avec la géométrie analytique dont elle est en partie issue.

Histoire

Les premiers travaux de cette nature remontent aux mathématiques arabes. Omar Khayyam, d'origine persane, proposa une méthode de résolution des équations cubiques par intersection d'un cercle et d'une parabole. Il combina la trigonométrie et les approximations fonctionnelles pour obtenir des méthodes de résolution géométriques des équations algébriques. Cette branche des mathématiques est maintenant appelée algèbre géométrique.

La Géométrie de Descartes, inaugurant l'étude des courbes algébriques par les méthodes de la géométrie analytique, marque la deuxième grande étape dans la genèse de cette disciplineJean Dieudonné, Cours de géométrie algébrique, vol. 1, chap.3..

À proprement parler, il faut attendre le début du vingtième siècle pour que la géométrie algébrique devienne un domaine à part entière. Cela fut initié, d'une part, par les travaux de David Hilbert, notamment son théorème des zéros, qui permettent de s’affranchir des méthodes de l'analyse pour n'utiliser que des méthodes algébriques (algèbre commutative). Cela fut développé, d'autre part, par l'école italienne de la fin du (Enriques, Chisini, Castelnuovo, Segre…). Ces géomètres étudiaient courbes et surfaces de l'espace projectif (réel et complexe). Ils introduisirent les notions de points voisins, points proches, points génériques afin d'avoir une interprétation géométrique du théorème de Bézout. Le style assez libre de l'école italienne reste éloigné de la rigueur actuelle. Ce fut principalement André Weil qui introduisit, vers la fin des années 1930, un formalisme permettant de démontrer rigoureusement leurs résultats. Les travaux du Français Émile Picard conduisirent au groupe des diviseurs et au groupe qui porte son nom. On peut aussi mentionner les travaux de Max Noether en Allemagne.

Après 1930, les écoles américaine (Zariski, Mumford…), allemande (Noether, Brauer), russe (Kolmogorov…) et française (Weil, Chevalley…) développèrent sous une forme plus algébrique l'étude des variétés sur un corps commutatif quelconque en utilisant essentiellement la théorie des anneaux.

Dans les années 1950, elle fut totalement transformée par les travaux de l'école française sous l'impulsion de Pierre Samuel, d'Henri Cartan, de Jean-Pierre Serre et d'Alexandre Grothendieck.

En une décennie, le domaine se développa, répondant à des questions classiques sur la géométrie des variétés algébriques. Des applications furent très vite trouvées en théorie des nombres. Jean-Pierre Serre et Alexandre Grothendieck établirent les bases de la théorie des faisceaux, et la notion de schéma s'imposa vers 1960.

La démonstration du théorème de Fermat-Wiles est un exemple notable d'application à la théorie des nombres de concepts de géométrie algébrique : les courbes elliptiques. Elle est en cela un des grands succès de la théorie.

Balbutiements

L'introduction des coordonnées par René Descartes permet de faire un lien entre certains objets géométriques et certaines équations algébriques, ne faisant intervenir que les quatre opérations élémentaires. Cette propriété ne dépend pas du choix du système de coordonnées, car cela revient à effectuer une transformation affine qui ne change pas l'éventuelle nature algébrique des équations satisfaites par les points dudit objet. C'est par exemple le cas : des droites ( dans le plan), des plans et plus généralement des sous-espaces affines d'un espace affine ; des coniques : cercles, ellipses, paraboles ( par exemple), hyperboles ( par exemple). Mais, par exemple, ce n'est pas le cas de la sinusoïde (elle rencontre une infinité de fois la droite ce qui est impossible : supposons qu'elle soit donnée par une seule équation polynomiale . Comme le polynôme en une variable s'annule une infinité de fois, il est identiquement nul et s'annule donc sur l'axe , ce qui n'est pas le cas).

Théorème des zéros de Hilbert

Étant donné un corps algébriquement clos , on appellera plus généralement sous-variété algébrique affine de tout sous-ensemble de qui soit le lieu d'annulation commun d'un certain nombre de polynômes à variables et à coefficients dans . Ce qu'on notera ici où . C'est ici qu'intervient le premier lien avec l'algèbre commutative à travers le Nullstellensatz qui énonce une correspondance bijective entre sous-variétés algébriques affines de et idéaux réduits de . L'aspect noethérien de cet anneau se traduit par le fait que la variété affine est toujours le lieu d'annulation commun d'un nombre fini de polynômes. Il implique aussi la décomposition unique de la variété en sous-variétés dites irréductibles. Dans notre correspondance, celles-ci correspondent aux idéaux premiers. Les idéaux maximaux correspondent, eux, aux points.

Il est courant pour étudier un objet, d'étudier certaines bonnes fonctions partant de cet objet (dual d'un espace vectoriel, caractères d'un groupe…). Il s'agit ici des fonctions dites régulières : elles partent de la variété et aboutissent dans en s'exprimant polynomialement en les coordonnées. L'ensemble des fonctions régulières est isomorphe à la -algèbre réduite de type fini où est l'idéal réduit associé à la variété. Si l'on décrète qu'un morphisme d'une variété vers une variété est de la forme alors on obtient une catégorie (attention : ce n'est pas bien défini, ce n'est pas intrinsèque) qui est alors équivalente à celle des -algèbres réduites de type fini munie des morphismes de -algèbres, et l'étude géométrique pourrait se résumer à une question d'algèbre commutative. Ce seul cadre ne saurait répondre convenablement à de nombreuses questions.

Le théorème de Bézout

On peut assez vite remarquer que si deux courbes planes n'ont pas de composante commune, alors elles se coupent en un nombre fini de points. Ce nombre est majoré par le produit des degrés des deux courbes (une application du résultant peut le justifier). Ainsi une conique rencontre au plus deux fois une droite. Le théorème de Bézout affirme qu'il s'agit en fait d'une égalité à condition de se plonger dans le bon cadre.

Le premier obstacle est l'absence de points de rencontre : typiquement le cercle et la droite ne se coupent pas. C'est un problème algébrique ; pour pallier ce défaut il faut autoriser les coordonnées à vivre dans une clôture algébrique du corps de base.

On rencontre le second obstacle en observant deux droites parallèles, qui justement ne se coupent pas. C'est un problème qu'on pourrait qualifier de « global ». On y remédie en considérant qu'elles se rencontrent à l'infini. Plus précisément on identifie un point à la droite passant par l'origine et le point . Les autres droites, celles (passant par l’origine) contenues dans le plan de d’équation , sont les points qui nous manquaient, et toutes ensemble, elles constituent l'espace projectif associé à . Par exemple partant de et , on associe les variétés « homogénéisées » et de , i.e. les droites passant par l'origine et les points et respectivement, mais aussi, et on trouve notre point d'intersection, la droite .

Le dernier obstacle vient des points de contact multiple : la parabole et la droite se coupent uniquement en même dans ) : il faut considérer les équations et qui ont pour seule droite commune . Pour y remédier, il faut définir la notion de multiplicité, c'est un problème qu'on pourrait qualifier de « local ». Dans l'exemple précédent l'objet à considérer est , k-algèbre de dimension vectorielle 2 qui reflète la « multiplicité ».

On est alors amené à considérer des objets plus généraux. À l'instar de ce qui se fait en géométrie différentielle, il s'agira d'objet globaux qui localement ressemblent à nos modèles : les variétés affines. On commencera donc par caractériser les variétés affines de façon intrinsèque, i.e. qui ne fera pas référence au choix d'un système de coordonnées. Avant cela voyons une « application » d'un problème d'intersection. L'équation représente le cercle centré en l'origine et de rayon 1. Il passe par le point , par suite toute droite passant par ce point « doit » recouper le cercle (a priori peut-être sur des points complexes à l'infini…). Une telle droite est « caractérisée » par sa pente , à condition de s'autoriser pour la droite verticale (en résumé : la famille des droites passant par un point donné est paramétrée par la droite projective). Une telle droite d'équation recoupe le cercle en un point vérifiant alors où l'on a développé puis factorisé par la racine évidente (car passe par )) L'autre point d'intersection est donc , pour et pour (remarquer que dans le cas de cela est cohérent avec les limites). Par rapport au paramétrage réel en () celui-ci à le mérite de ne faire intervenir qu'une fonction rationnelle (des sommes, produits, divisions), alors que cosinus et sinus n'en sont pas.

Une telle paramétrisation peut permettre de résoudre quelques problèmes. Cela conduit en effet à une description des triplets pythagoriciens et cela permet également d'intégrer toute fonction rationnelle en (au vu du dessin et du théorème de l'angle au centre il s'agit du changement de variable ). L'existence d'une telle paramétrisation est un fait remarquable ; de telles courbes sont dites unicursales. C'est par exemple le cas de : paramétrée par obtenu par les droites passant par le point double , paramétrée par obtenu par les droites passant par le point double . Mais ce n'est pas le cas de pour , car avec des paramètres rationnels on obtiendrait une infinité de solutions à coefficients rationnels (car il existe déjà ) ce qui contredirait le grand théorème de Fermat, ainsi qu'un léger détail sur les intégrales elliptiques…

Aspects locaux

Avant de pouvoir parler proprement de problèmes locaux, il faut définir une topologie sur les variétés affines ; bien sûr, quand le corps de base est ou , on pourrait envisager de transporter la topologie euclidienne usuelle, mais celle-ci est beaucoup trop riche. Essentiellement, on a juste besoin que les polynômes soient continus. Pour l'instant, on ne dispose pas de topologie sur le corps de base, mais il ne serait pas trop demander que soit fermé (et aussi par homogénéité tous les singletons et par suite toute réunion finie de singletons : cela donne bien une topologie dite cofinie). Ainsi, on décrète fermés tous les où est un élément de la -algèbre des fonctions régulières, c'est-à-dire un polynôme défini à un élément de l'idéal près. On peut vérifier qu'eux seuls constituent bien les fermés d'une certaine topologie, dite de Zariski. Il n'est pas question ici d'en faire le tour des propriétés, mentionnons seulement qu'une base d'ouverts est fournie par les .