Le théorème de Wick, du nom de Gian Carlo Wick, est un outil particulièrement important de la physique statistique, dans la mesure où il permet de calculer des valeurs moyennes d'observables compliquées, par exemple des corrélations ou des interactions à plusieurs particules, en transformant ces moyennes en produit de moyennes d'observables plus simples.
Généralités Il existe plusieurs formulations du théorème de Wick, plus ou moins bien adaptées aux différents contextes/formalismes de calcul utilisés en physique. Dans cet article nous discutons une version quantique du théorème et de sa preuve, exprimée dans le formalisme de la seconde quantification pour une température quelconque. Les calculs sont volontairement détaillés, et vont sembler lourds à certains lecteurs, cependant ils doivent permettre à une majorité de personnes intéressées par le théorème de Wick de refaire la démonstration.
Les objets que nous manipulerons sont des opérateurs et qui respectivement créent ou détruisent une particule dans un état quantique lorsqu'ils agissent sur un espace de Fock, de bosons ou de fermions. Ce sont les opérateurs de création/annihilation de particule. Dans ce formalisme de la seconde quantification, toutes les observables usuelles (tous les opérateurs) peuvent être exprimés en termes de ces opérateurs, par des produits d'un certain nombre de ces . Si on considère une collection , où chaque est une combinaison linéaire des opérateurs précédents, et qu'on nomme le hamiltonien du système, alors la moyenne statistique de l'opérateur \ \ est donnée par :
équation (1)
où les traces sont prises sur tous les états du système, et où .
Le théorème de Wick affirme que si le hamiltonien est quadratique, alors
équation (2)
où la somme est effectuée sur toutes les manières différentes d'apparier les opérateurs initiaux, en conservant au sein de chaque paire le produit d'opérateurs l'ordre dans lequel ils apparaissaient dans la séquence initiale (par exemple, si on couple et alors pour le facteur correspondant on écrira , mais si on couple et alors pour le facteur correspondant on écrira ). Le terme vaut toujours pour des bosons, et pour des fermions il dépend de la parité de la permutation qui permet de passer de l'ordre à l'ordre .
Dès lors que le hamiltonien est quadratique, ce théorème est valable dans une immense majorité des situations que l'on rencontre. La preuve complète que nous donnons s'appuie sur la possibilité de diagonaliser un hamiltonien quadratique à l'aide des transformations de Bogoliubov, ce qui est toujours possible dans tous les cas pour des fermions, mais requiert pour des bosons que la matrice hamiltonienne soit positive. Nous ne conclurons donc pas sur la validité du théorème de Wick pour des bosons dont la matrice hamiltonienne n'est pas positive. Cependant, ce cas n'a pas généralement de réalité physique dans la mesure où cette situation correspond à des énergies propres du système qui ne sont pas réelles.
Preuve du théorème de Wick
Diagonalisation du hamiltonien
Nous considérons un hamiltonien quadratique. Quelle que soit sa forme initiale, qui satisfasse les conditions évoquées dans le paragraphe précédent, par une transformation de Bogoliubov on peut exprimer ce hamiltonien de la manière suivante :
avec une constante, c'est-à-dire indépendante des opérateurs de création annihilation, et avec , , de nouveaux opérateurs création annihilation qui satisfont les mêmes relations de commutation que les à savoir si et sinon. Le signe du haut dans les "" réfère aux bosons et celui du bas aux fermions. où est l'énergie d'un état quantique et le nombre de particules dans cet état. Ce nombre de particules est un entier positif quelconque pour un système de bosons, et vaut 0 ou 1 pour un système de fermions en raison du principe d'exclusion de Pauli qui interdit à deux fermions de se trouver dans le même état quantique. Avec ce hamiltonien, les Traces matricielles de la relation (1) sont tout simplement des sommes sur toutes les valeurs possibles de chacun des nombres :
Or , et la constante étant indépendante des on va pouvoir la factoriser au numérateur et au dénominateur et donc se simplifier dans le calcul des valeurs moyennes de type (1). On a donc et on peut donc limiter notre démonstration au hamiltonien .
Linéarité
Les deux membres de l'équation (2) sont linéaires vis-à-vis de chacun des opérateurs . En effet, pour deux constantes et complexes et deux opérateurs et on a pour le membre de gauche de (2) :
.
Pour le membre de droite, on peut appliquer ce même calcul à chacune des valeurs moyennes à deux opérateurs faisant apparaître . Or chacun des termes de la somme sur tous les appariements possibles possède un et un seul facteur (moyenne de deux opérateurs) faisant apparaître .\ Donc tous les facteurs de chaque terme sauf un restent inchangés, et celui qui n'est pas inchangé se développe linéairement comme ci-dessus :
et donc, comme ceci est valable pour tous les termes, le somme au second membre de l'équation (2) est linéaire vis-à-vis de chacun des opérateurs . En conséquence, si le théorème de Wick est valable pour un choix particulier d'opérateurs , il sera valable pour toutes les combinaisons linéaires de ces opérateurs. On démontrera donc le théorème seulement dans le cas où tous les sont du type soit soit , et seront donc notés .
Cas triviaux
Considérons que la séquence , qui ne contient que des et , contienne un nombre différent d'opérateurs création et annihilation pour au moins un état (un nombre de et de différent). On a alors :
.
Remarquons que, les opérateurs possédant autant d'opérateurs annihilation que d'opérateurs création dans chaque état quantique , chaque terme possède un nombre différent d'opérateurs dans l'état . Les traces du type étant indépendantes de la base choisie pour exprimer l'opérateur, on peut exprimer ces traces dans la base canonique de l'espace de Fock des bosons ou des fermions.\ Les états de cette base (orthonormée) sont les , où les sont les nombres de particules dans un état individuel donné. On a alors :
Or conservant le nombre de particules dans chaque état individuel, est proportionnel à .\ À l'inverse, ne conserve pas le nombre de particules dans l'état car il possède un nombre différents d'opérateurs () qui créent une particule dans l'état que d'opérateurs () qui en détruisent une dans cet état. Par conséquent
est proportionnel à avec . Il en résulte que chaque terme de la somme précédente est proportionnel à qui est nul car les états correspondant à des nombres d'occupation différents sont orthogonaux. Ainsi, toutes les valeurs moyennes de produits d'opérateur création et annihilation sont nulles, exception faite de celles dont le produit d'opérateurs possèdent exactement le même nombre d'opérateurs et pour chaque état . Dans le cadre du théorème de Wick, étudions le cas où la condition de non nullité n'est pas respectée pour la moyenne du membre de gauche de l'équation (2). À gauche, on a donc 0, car il existe au moins un opérateur (resp.) qui n'est pas accompagné de (resp. ) dans la séquence . Or, dans le membre de droite, en appliquant le même résultat on constate que si une paire n'est pas du type , alors pour cette paire la valeur moyenne à deux opérateurs est nulle, et donc le produit de facteurs dans lequel cette paire apparaît est nul aussi. Dans la somme sur toutes les paires, il ne reste alors comme contributions non triviales que les produits dans lesquels TOUTES les paires sont du type . Or, étant donné qu'il existe un état pour lequel les nombres de et de sont différents, cette condition ne pourra être réalisée pour aucun choix particulier d'appariement, et tous les termes de la somme seront nuls. Dans ce cas, le théorème de Wick est donc vérifié, mais n'apporte aucune information dans la mesure ou il se contente d'affirmer . Le théorème ne revêt un intérêt que si, dans la séquence initiale, chaque état est représenté par le même nombre d'opérateurs création et annihilation.
Cas particuliers non triviaux
On considère dans ce paragraphe que tous les opérateurs apparaissant dans le produit dont on veut calculer la moyenne sont des opérateurs création, annihilation, en nombre égal, et surtout se référant AU MÊME état individuel . On choisit de plus l'ordre de la séquence initiale dans lequel tous les opérateurs de création au début, et tous les opérateurs d'annihilation à la fin. On cherche donc à montrer le théorème de Wick pour des moyennes du type . Dans ce paragraphe, tous les opérateurs se référant au même état , on omettra l'indice . Les indices présents ici désigneront la position d'un opérateur dans la séquence initiale : (resp.\ ) sera l'opérateur création (resp.annihilation) qui occupe la ième place dans la séquence initiale. On cherche donc à vérifier
(équation (3)).
Fermions
Commençons par étudier le cas de fermions : pour , on a pour le membre de gauche de (3) , et pour le membre de droite il existe une seule paire qui conserve l'ordre initial des opérateurs, et c'est , : le membre de droite donne alors aussi et le théorème de Wick est vérifié pour .
Pour , étant donné que (on ne peut pas détruire deux fermions se trouvant dans le même état : ils ne peuvent pas y être à deux puisque ce sont des fermions), le membre de gauche est forcément nul : .
Pour cette séquence d'opérateurs , les seuls termes de la somme au membre droit de l'équation (3) qui sont non nuls sont, d'après les résultats du paragraphe précédent, les termes qui font intervenir exclusivement des produits ou , mais comme on doit respecter l'ordre initial au sein de chaque paire, dans chaque paire l'opérateur apparaitra en premier. On a donc
où, rappelons le, les indices représentent l'ordre dans lequel apparaissent les opérateurs création/annihilation dans la séquence initiale, et les indices représentent les différentes manières d'apparier (prendre par exemple revient à apparier le premier opérateur création de la séquence initiale avec le annihilation.... Chaque terme de la somme est égal à , où est la permutation qui permet de passer de l'ordre à l'ordre . Remarquons que toutes les permutations sur lesquelles on somme peuvent se décomposer en deux permutations : la permutation qui passe de l'ordre initial à l'ordre , et la permutation qui dépend elle du terme considéré dans la somme, et dont l'action est d'échanger les indices des opérateurs , passant donc de à . La somme court sur toutes les valeurs qu'on peut donner aux indices , c'est donc une somme sur toutes les manières de permuter les indices des opérateurs de la séquence initiale. Il existe donc termes dans cette somme, et ayant , est un multiple de et donc un nombre pair. On a alors
On remarque enfin que permuter deux opérateurs sur demande 3 permutations élémentaires des indices, ce qui correspond à un facteur (-1) entre les deux termes correspondants de la somme : en groupant toutes les permutations deux par deux, de manière qu'un seul couple d'indices soit modifié entre les deux permutations, on obtient que la somme des est nulle pour chacun des couples de permutations. Dès lors qu'il existe un nombre pair de permutations, c'est-à-dire dès lors que est divisible par 2 ce qui est le cas pour tout , la somme totale du membre de droite de l'équation (3) est donc nulle pour les fermions, et le théorème de Wick est vérifié pour cet ordre particulier (les en début de séquence et les à la fin) d'un nombre quelconque d'opérateurs se référant au même état.
Bosons Le raisonnement que l'on a effectué pour calculer le membre droit de l'équation (3) pour des fermions s'applique aussi aux bosons, à la différence que la parité des permutations n'intervient plus : le signe est le même pour tous les termes de la somme et on a
Pour le membre de gauche, on utilise le fait que les opérateurs et pris à deux positions différentes dans la séquence initiale commutent on peut écrire :