vignette|Les nombres premiers sont un objet d'étude fondamental de la théorie des nombres. Leur répartition est ici visualisée par une spirale d'Ulam. Traditionnellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques qui s'occupe des propriétés des nombres entiers (qu'ils soient entiers naturels ou entiers relatifs). Plus généralement, le champ d'étude de cette théorie concerne une large classe de problèmes qui proviennent naturellement de l'étude des entiers. La théorie des nombres occupe une place particulière en mathématiques, à la fois par ses connexions avec de nombreux autres domaines, et par la fascination qu'exercent ses théorèmes et ses problèmes ouverts, dont les énoncés sont souvent faciles à comprendre, même pour les non-mathématiciens. C'est ce qu'exprime la citation suivante, de Jürgen Neukirch :
ainsi que celle de Carl Friedrich Gauss :
Le terme « arithmétique » est aussi utilisé pour faire référence à la théorie des nombres. C'est un terme assez ancien, qui n'est plus aussi populaire que par le passé ; pour éviter des confusions, on désignait aussi parfois, jusqu'au début du vingtième siècle, la théorie des nombres par le terme « arithmétique supérieure ». Néanmoins, l'adjectif arithmétique reste assez répandu, en particulier pour désigner des champs mathématiques (géométrie algébrique arithmétique, arithmétique des courbes et surfaces elliptiques, etc.), où la restriction des questions et des solutions aux entiers, ou à certaines de leurs extensions, joue un rôle déterminant. Ce sens du terme arithmétique ne doit pas être confondu avec celui utilisé en logique pour l'étude des systèmes formels axiomatisant les entiers, comme dans l'arithmétique de Peano.
La théorie des nombres est divisée en plusieurs champs d'étude en fonction des méthodes utilisées et des questions traitées.
Les diverses branches de la théorie des nombres Théorie élémentaire des nombres Le terme élémentaire désigne généralement une méthode qui n'use pas d'analyse complexe. Par exemple, le théorème des nombres premiers a été prouvé en utilisant de l'analyse complexe en 1896, mais une preuve élémentaire n'a été trouvée qu'en 1949 par Erdős et Selberg. Le terme est quelque peu ambigu : par exemple, les démonstrations basées sur des théorèmes taubériens complexes (par exemple le théorème de Wiener-Ikehara) sont souvent considérées comme très éclairantes mais non élémentaires. Une preuve élémentaire peut être plus longue et plus difficile pour la plupart des lecteurs qu'une preuve non élémentaire.
La théorie des nombres a la réputation d'être un domaine dont beaucoup de résultats peuvent être compris par le profane. En même temps, les preuves de ces résultats ne sont pas particulièrement accessibles, en partie parce que la gamme d'outils qu'ils utilisent est exceptionnellement large en mathématiquesVoir par exemple le commentaire introductif de ..
Beaucoup de questions en théorie élémentaire des nombres, bien que simples en apparence, sont toujours ouvertes, et se révèlent très profondes. Par exemple : La conjecture de Goldbach concernant l'expression des nombres pairs comme somme de deux nombres premiers, La conjecture des nombres premiers jumeaux à propos de l'infinité des paires de nombres premiers consécutifs, et La conjecture de Syracuse concernant une simple itération.
Il a été démontré que la théorie des équations diophantiennes est indécidable, c’est-à-dire qu’on peut construire une équation explicite dont l’existence de solutions ne peut être démontrée à l’aide des axiomes usuels des mathématiques (c’est le théorème de Matiyasevich).
Théorie analytique des nombres
droite|vignette|La fonction zêta de Riemann ζ(s) dans le plan complexe. La couleur d'un point s code la valeur de ζ(s): les couleurs proches du noir indiquent des valeurs proches de zéro, alors que la teinte code l'argument de la valeur.La théorie analytique des nombres peut être définie :
par rapport à ses outils, c'est-à-dire l'étude des entiers au moyen d'outils d'analyse réelle et complexe ; par rapport à ses intérêts, c'est-à-dire l'étude des estimations sur la taille et la densité, par opposition aux identités: .
Certains sujets généralement considérés comme faisant partie de la théorie analytique des nombres, par exemple la théorie des cribles, sont définis plutôt par la seconde définition. gauche|vignette|L'action du groupe modulaire sur le plan. La région en gris est le domaine fondamental standard. Voici des exemples de problèmes en théorie analytique des nombres : le théorème des nombres premiers, la conjecture de Goldbach (ou la conjecture des nombres premiers jumeaux ou les conjectures de Hardy-Littlewood), le problème de Waring ou encore l'hypothèse de Riemann : . Certains des outils les plus importants de la théorie analytique des nombres sont la méthode du cercle, les méthodes des cribles et les fonctions L. La théorie des formes modulaires (et plus généralement des formes automorphes) occupe également une place de plus en plus centrale en théorie analytique des nombresVoir les remarques dans l'introduction de : ..
Théorie algébrique des nombres Un nombre algébrique est un nombre complexe qui est solution d'une équation polynomiale à coefficients dans le corps . Par exemple, toute solution de est un nombre algébrique. La théorie algébrique des nombres étudie les champs de nombres algébriques. Ainsi, les théories analytique et algébrique des nombres peuvent se chevaucher : la première est définie par ses méthodes, la seconde par ses objets d'étude. vignette|240x240px|Ernst Kummer.
Les fondations de cette branche telle que nous la connaissons, ont été établies à la fin du , lorsque les idéaux et la valuation ont été développés. L'impulsion du développement des idéaux (par Ernst Kummer) semble provenir de l'étude des lois de réciprocité supérieure, c'est-à-dire des généralisations de la loi de réciprocité quadratique.
Les corps sont souvent étudiés comme extensions d'autres corps plus petits : un corps L est dit être une extension d'un corps K si L contient K. La classification des extensions abéliennes a fait l'objet du programme de théorie des corps de classes, initié à la fin du (en partie par Kronecker et Eisenstein) et réalisé en grande partie en 1900-1950.
La théorie d'Iwasawa est un exemple de domaine de recherche actif en théorie algébrique des nombres. Le programme de Langlands, l'un des principaux programmes de recherche actuels à grande échelle en mathématiques, est parfois décrit comme une tentative de généraliser la théorie des corps de classes aux extensions non abéliennes.
Géométrie diophantienne Le problème central de la géométrie diophantienne est de déterminer quand une équation diophantienne a des solutions, et si oui, combien. L'approche adoptée est de considérer les solutions d'une équation comme un objet géométrique.
Par exemple, une équation à deux variables définit une courbe dans le plan. Plus généralement, une équation, ou un système d'équations, à deux ou plusieurs variables définit une courbe, une surface, etc., dans un espace à n dimensions. En géométrie diophantienne, on se demande s'il existe des points rationnels (points dont toutes les coordonnées sont rationnelles) ou des points entiers (points dont toutes les coordonnées sont des entiers) sur la courbe ou la surface. S'il y a de tels points, l'étape suivante consiste à demander combien il y en a et comment ils sont répartis. Une question fondamentale dans cette direction est la suivante : existe-t-il un nombre fini ou infini de points rationnels sur une courbe (ou surface) donnée ? Qu'en est-il des points entiers ?
Un exemple serait l'équation de Pythagore ; nous voudrions étudier ses solutions rationnelles, c'est-à-dire ses solutions telles que x et y soient tous deux rationnels. Cela revient à demander toutes les solutions entières de ; toute solution à cette dernière équation nous donne une solution , . Cela est équivalent au fait de demander tous les points à coordonnées rationnelles sur la courbe décrite par (cette courbe se trouve être le cercle unité). droite|vignette|upright=1.7|Deux exemples de courbes elliptiques. Celles-ci peuvent être vues comme une tranche d'un tore en quatre dimensions. La reformulation des questions sur les équations en termes de points sur les courbes s'avère fructueuse. La finitude ou non du nombre de points rationnels ou entiers sur une courbe algébrique, s'avère dépendre de façon cruciale du genre de la courbe. Ce domaine est étroitement lié aux approximations diophantiennes : étant donné un nombre, à quel point peut-il être approché par des rationnels ? (On considère qu'un rationnel , avec a et b premiers entre eux, est une bonne approximation de si , où est grand.) Cette question est d'un intérêt particulier si est un nombre algébrique. Si ne peut pas être bien approximé, alors certaines équations n'ont pas de solutions entières ou rationnelles. De plus, plusieurs concepts s'avèrent cruciaux à la fois en géométrie diophantienne et dans l'étude des approximations diophantiennes. Cette question est également d'un intérêt particulier en théorie des nombres transcendants : si un nombre peut être mieux approché que n'importe quel nombre algébrique, alors c'est un nombre transcendant. C'est par cet argument qu'il a été démontré que et sont transcendants.
La géométrie diophantienne ne doit pas être confondue avec la géométrie des nombres, qui est une collection de méthodes graphiques pour répondre à certaines questions de la théorie algébrique des nombres. Le terme de géométrie arithmétique est sans doute le plus souvent utilisé lorsque l'on veut mettre l'accent sur les liens avec la géométrie algébrique moderne (comme le théorème de Faltings) plutôt que sur les techniques des approximations diophantiennes.
Approches et branches récentes
Théorie probabiliste des nombres En prenant un nombre au hasard entre un et un million, quelle est la probabilité qu'il soit premier ? C'est juste une autre façon de demander combien il y a de nombres premiers entre un et un million. Et combien de diviseurs aura-t-il, en moyenne ?
Une grande partie de la théorie probabiliste des nombres peut être considérée comme une branche de l'étude de variables qui sont presque indépendantes les unes des autres. Parfois, une approche probabiliste non rigoureuse conduit à un certain nombre d'algorithmes heuristiques et de problèmes ouverts, notamment la conjecture de Cramér.
Théorie combinatoire des nombres Soit A un ensemble de N entiers. Considérons l'ensemble A + A = { m + n | m, n ∈ A } constitué de toutes les sommes de deux éléments de A. A + A est-il beaucoup plus grand que A ? À peine plus grand ? A ressemble-t-il à une suite arithmétique ? Si nous partons d'un ensemble infini A assez grand, contient-il beaucoup d'éléments dans la progression arithmétique ?
Ces questions sont caractéristiques de la théorie combinatoire des nombres. Son intérêt pour les questions de croissance et de distribution tient en partie au développement de ses liens avec la théorie ergodique, la théorie des groupes finis, la théorie des modèles et d'autres domaines. Les ensembles étudiés n'ont pas besoin d'être des ensembles d'entiers, mais plutôt des sous-ensembles de groupes non commutatifs, pour lesquels le symbole de multiplication, et non le symbole d'addition, est traditionnellement utilisé; ils peuvent également être des sous-ensembles d'anneaux.
Théorie algorithmique des nombres
Il y a deux questions principales: « pouvons-nous calculer cela ? » et « pouvons-nous le calculer rapidement ? ». N'importe qui peut tester si un nombre est premier ou, si ce n'est pas le cas, obtenir sa décomposition en facteurs premiers ; le faire rapidement devient plus compliqué. Nous connaissons aujourd'hui des algorithmes rapides pour tester la primalité, mais, malgré beaucoup de travail (à la fois théorique et pratique), aucun algorithme n'est vraiment rapide pour cette tâche.