En mathématiques, le théorème de Gelfond-Schneider, démontré indépendamment et presque simultanément en 1934 par Alexandre Gelfond et Theodor Schneider.., s'énonce de la façon suivante :
« Le » nombre α est à prendre ici au sens : , où est n'importe quelle détermination du logarithme complexe de .
Le théorème de Gelfond-Schneider résout le septième problème de Hilbert et permet de construire de multiples exemples de nombres transcendants.
Exemples d'applications
L'application directe du théorème fournit des nombres transcendants comme 2 (la constante de Gelfond-Schneider), , ou encore pour tout nombre réel algébrique non nul (en posant et ), par exemple (la constante de Gelfond) ou .
Mais par contraposée, on en déduit aussi :
Ainsi, l'irrationnel est transcendant (en utilisant ).
Références
Voir aussi Articles connexes Théorème d'Hermite-Lindemann Théorème de Baker Conjecture de Schanuel
Bibliographie
(cas où β est un irrationnel quadratique)
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Catégorie:Approximation diophantienne Gelfond-Schneider