En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction est continue si, à des variations infinitésimales de l'antécédent , correspondent des variations infinitésimales de l'image .

La continuité est associée à la notion de continuum dont l'origine est géométrique. Dans un continuum géométrique, comme le plan ou l'espace, un point peut se déplacer continument pour s'approcher à une précision arbitraire d'un autre point. La notion de continuité est définie de manière rigoureuse en mathématiques.

Le premier exemple de fonctions continues concerne des fonctions réelles définies sur un intervalle et dont le graphe peut se tracer sans lever le crayon. Cette première approche donne une idée de la notion (la fonction ne saute pas) mais n'est pas suffisante pour la définir, d'autant plus que certains graphes de fonctions pourtant continues ne peuvent pas se tracer de cette manière, telles par exemple des courbes ayant des propriétés fractales comme l'escalier de Cantor.

Historiquement définie pour des fonctions de la variable réelle, la notion de continuité se généralise à des fonctions entre espaces métriques ou entre espaces topologiques, sous une forme locale et sous une forme globale.

L'étude des fonctions continues se révèle fructueuse pour les propriétés qu'elles possèdent (propriété de convergence au sens où « », théorème des valeurs intermédiaires, théorème des bornes, intégrabilité…).

Définition pour les fonctions réelles

vignette|Exemple d'une fonction continue sur un intervalle.

vignette|Exemple d'une fonction non continue en 2 : n'est pas continue à gauche en 2. est continue à droite en 2.

Ainsi est continue en si et seulement si la limite de en existe (elle vaut alors nécessairement ). De même, dans la définition formelle de la limite, une définition équivalenteVoir par exemple , définition 36.2. est obtenue en remplaçant par ou par .

Cela veut dire qu'en fixant un seuil ε, on peut trouver un intervalle autour de tel que soit à une distance inférieure à ε de .

Si la continuité est valable uniquement à droite (pour ), on dit que est continue à droite en . De même à gauche pour .Dire que est continue en revient à dire qu'elle l'est à droite et à gauche en . La fonction est dite continue (sur ) si elle est continue en tout point de .Une fonction qui présente des « sauts » est discontinue. La notion de saut est illustrée sur la figure ci-contre, elle correspond à l'existence d'une limite à droite et d'une limite à gauche qui n'ont pas toutes les deux la même valeur que . Si n'est pas continue en , elle y présente une discontinuité. Les discontinuités peuvent être classées selon que les limites à gauche et à droite existent, sont égales, et sont finies.

Commentaire

Une fonction qui n'est pas continue est dite discontinue.

C'est l'idée du seuil ε fixé à l'avance qui est importante. Cette définition est le fruit des efforts des mathématiciens du pour rendre rigoureuse la notion intuitive de continuité. En analyse non standard, une approche plus intuitive est possible : on dira que est continue en si est infiniment petit quand est infiniment petit. Tout repose alors sur une définition rigoureuse des infiniment petits et cette définition ne s'applique qu'aux fonctions dites standards.

La définition globale de la continuité dans le cadre des espaces topologiques (voir plus bas) permet elle aussi de s'affranchir des ε, mais ceci au prix du formalisme de la topologie générale.

Exemples Une grande partie des fonctions usuelles sont continues sur leur domaine de définition : fonctions polynomiales, rationnelles, exponentielles, logarithmes, hyperboliques, trigonométriques, racine n-ième, puissance n-ième, valeur absolue. La fonction partie entière sur les réels est discontinue : on « lève le crayon » en arrivant à chaque entier. Une fonction réelle dérivable en un point est continue en ce point. (La réciproque est fausse : cf. § « Des erreurs à éviter ».) Il existe des fonctions définies sur ℝ qui ne sont continues en aucun point : c'est le cas de la fonction indicatrice de ℚ, appelée la fonction de Dirichlet, qui vaut 1 en tout point rationnel et 0 ailleurs. Intuitivement, on voit bien que, pour tracer cette fonction, il faudrait « lever le crayon » une infinité de fois par intervalle, et surtout aucune ligne de longueur non nulle ne peut être tracée. Cet exemple « pathologique » se généralise : pour tout ensemble F (c'est-à-dire toute réunion d'une suite de fermés) d'un intervalle fermé non trivial de ℝ, il existe une application de dans ℝ dont les points de discontinuité sont exactement les éléments de cet ensemble (c'est en fait une caractérisation des F)..

Propriétés La notion de continuité sur un intervalle pour les fonctions réelles : est utile pour prouver l'existence de solutions à des équations de la forme (voir théorème des valeurs intermédiaires) ; simplifie le calcul de limites car .

La composée de fonctions continues est une fonction continue. La composée d'une fonction continue et d'une suite convergente est une suite convergente.

Les propriétés de stabilité de la continuité par combinaison linéaire (i.e. pour tous réels et , fonctions réelles continues, la fonction est continue) et par produit de deux fonctions font de l'ensemble des fonctions continues une algèbre sur le corps des réels.

Des erreurs à éviter

Une fonction dérivable en un point est continue en ce point mais la réciproque est fausse. Par exemple les fonctions racine carrée et valeur absolue sont continues en 0 mais non dérivables en ce point (voir l'article « Dérivabilité »). Une fonction telle que est bel et bien continue. L'erreur consistant à dire que n'est pas continue en 0 est renforcée par l'absence de précision sur son domaine de définition : la continuité en un point situé hors du domaine de définition n'a pas de sens. Dans le cas de , tant qu'une valeur n'est pas précisée pour , on doit supposer que le domaine de définition considéré est ℝ*. Ainsi, dire que est ou n'est pas continue en 0 n'a aucun sens ; on peut seulement dire qu'elle n'est pas prolongeable en une fonction continue en 0. Dans l'histoire, la continuité d'une fonction était pensée comme « ne pouvant pas passer d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires » (propriété souvent appelée PVI pour « propriété des valeurs intermédiaires ») mais on sait aujourd'hui qu'il n'y a pas équivalence entre les deux ; la propriété des valeurs intermédiaires est nécessaire pour qu'il y ait continuité (c'est le théorème des valeurs intermédiaires), mais pas suffisante (la fonction prolongée par 1 en 0 vérifie bien la propriété des valeurs intermédiaires et est pourtant discontinue en zéro).

Définition dans le cas des espaces métriques La droite réelle est un espace métrique, la distance usuelle sur R étant celle qui à deux nombres associe la valeur absolue de leur différence. La définition ci-dessus se généralise donc naturellement : Définition

À nouveau, est ainsi continue en si et seulement si la limite de en existe (elle vaut alors nécessairement ). Exemples Toute application uniformément continue entre deux espaces métriques est continue. Une application linéaire d'un espace vectoriel normé vers un autre est continue si et seulement si elle est bornée sur la boule unité (et elle est alors lipschitzienne).

Définition générale (espaces topologiques)

On donne deux définitions équivalentes dans le cas des espaces topologiques.

Définition locale

On peut faire reposer la définition locale (c'est-à-dire pour un point) de la continuité sur la notion de limite :

Si est séparé (ou même seulement T) comme tout espace métrisable, il suffit pour cela qu'il existe une limite de en ce point.

Caractérisation séquentielle Si est métrisable (ou plus généralement : héréditairement séquentiel), est continue en si (et seulement si) pour toute suite (x) convergeant vers , la suite converge vers ; et lorsque de plus est T (ou même seulement à unique limite séquentielle), il suffit que pour toute suite convergeant vers , la suite admette une limite.

La notion de seuil utilisée pour les fonctions réelles est généralisée par la notion de voisinage : désigne l'ensemble des voisinages de , et ceux de . On démontre alors :

La fonction est dite continue sur (ou simplement : continue) si elle est continue en tout point de . Elle est dite continue sur une partie de si sa restriction à (muni de la topologie induite) est continue (il suffit pour cela que soit continue en tout point de ).

Caractérisations globales

On peut déduire de la définition locale trois caractérisations équivalentes des applications qui sont continues (en tout point de l'espace de départ).

La première d'entre elles est qu'une application est continue si et seulement si l'image réciproque de tout ouvert de l'espace d'arrivée est un ouvert de l'espace de départ. La suivante, analogue, s'écrit en termes de fermés. La quatrième utilise les notions d'adhérence et d'image directe et les deux dernières, celles d'adhérence ou de frontière et d'image réciproque.

Le lien avec la notion intuitive est le suivant : quand une fonction « saute », cela signifie que des points très proches de l'espace de départ, se retrouvent sur des points très éloignés à l'arrivée. Or pour une application continue, ces sauts sont impossibles, d'après le théorème précédent.

Les caractérisations 2 et 3 sont souvent utilisées, a contrario, pour montrer qu'un certain ensemble est ouvert (ou fermé) en faisant intervenir une application qu'on sait déjà être continue. Par exemple : dans R, l'hyperbole d'équation est fermée, comme image réciproque du singleton {1} par l'application continue « produit » : ; le graphe d'une application continue est fermé dans dès que est séparé ; deux applications continues à valeurs dans un espace séparé qui coïncident sur une partie dense sont égales. Ceci permet par exemple de montrer que l'ensemble des fonctions continues de R dans R n'a que la puissance du continu donc que son cardinal est strictement plus petit que |R| = |P(R)|. Dans les caractérisations 4 et 5, les inclusions réciproques sont fausses en général. Par exemple si est l'application continue de R dans R qui à associe 1 si et si , 0 n'appartient pas à alors qu'il appartient à , et n'appartient pas à alors qu'il appartient à . D'après ce théorème, toute restriction-corestriction d'une application continue est continue (pour les topologies induites). Ce théorème permet aussi de montrer que si est une réunion d'ouverts tels que la restriction de à chacun de ces ouverts soit continue alors est continue, et de même si est réunion d'un nombre fini de fermés tels que la restriction de à chacun de ces fermés soit continue. Pour une réunion (même finie) de « parties quelconques », on n'a aucun résultat de ce genre ( « Fonction de Dirichlet »). Si est séquentiel alors est continue sur si (et seulement si) pour tout point de et toute suite convergeant vers , la suite converge vers .

Exemples Une application constante d'un espace topologique dans un autre est continue. En effet, l'image réciproque de toute partie est soit l'ensemble vide, soit l'ensemble de départ tout entier. Toute application dont l'espace de départ est muni de la topologie discrète, ou l'espace d'arrivée de la topologie grossière, est continue. L'application identité, d'un ensemble muni d'une certaine topologie vers le même ensemble muni d'une autre topologie, est continue si et seulement si la topologie sur l'ensemble de départ est plus fine que celle sur l'ensemble d'arrivée. La bijection réciproque n'est alors pas continue, sauf si les deux topologies sont égales. Soient une partie d'un espace topologique X, et 1 sa fonction caractéristique :