En théorie des nombres, le théorème de Lucas exprime le reste de la division du coefficient binomial par un nombre premier en termes du développement en base des entiers et .
Le théorème de Lucas a été publié en 1878 par Édouard Lucas : (part 1) ; (part 2) ; (part 3)..
Énoncé Pour des entiers et positifs ou nuls et un nombre premier , on a la relation de congruence suivante :
où
et
sont les développements respectifs de et en base .
Corollaire Un coefficient binomial est divisible par un nombre premier si et seulement si au moins un chiffre de en base est strictement plus grand que le chiffre correspondant de , auquel cas . Ce corollaire est aussi un corollaire du théorème de Kummer.
Démonstration utilisant la formule du binôme Cette démonstration est due à Nathan Fine qui l'a publiée en 1947.
Si est un nombre premier, la formule du pion montre que est multiple de pour et que donc
Par récurrence, on en déduit que pour tout entier naturel :
Connaissant et , on peut écrire :
D'où le résultat.
Références
Lucas Catégorie:Coefficient binomial