En mathématiques, un espace pseudo-métrique est un ensemble muni d'une pseudo-distance. C'est une généralisation de la notion d'espace métrique.

Sur un espace vectoriel, tout comme une norme induit une distance, une semi-norme induit une semi-distance. Pour cette raison, en analyse fonctionnelle et dans les disciplines mathématiques apparentées, l'expression « espace semi-métrique » est utilisée comme synonyme d'espace pseudo-métrique (alors qu'« espace semi-métrique » a un autre sens en topologie).

Définition Une pseudo-distance sur un ensemble est une fonction

telle que pour tout ,

(symétrie) ; (inégalité triangulaire). Autrement dit, une pseudo-distance est un écart à valeurs finies.

Un espace pseudo-métrique est un ensemble muni d'une pseudo-distance.

À la différence de ceux d'un espace métrique, les points d'un espace pseudo-métrique ne sont pas nécessairement discernables — c'est-à-dire que l'on peut avoir pour des points distincts .

Exemples +EspacePseudo-distancePropriétés et remarquesUn ensemble quelconque non vide.Cette pseudo-distance vérifie la séparibilité si et seulement si est un singleton.L'espace des fonctions à valeurs réelles définies sur . où est fixé.Cette pseudo-distance vérifie la séparibilité si et seulement si est un singleton.La tribu d'un espace mesuré où est une mesure finie. où désigne la différence symétrique.Cette pseudo-distance est parfois appelée la pseudo-distance de Fréchet–Nikodym–Aronszajn.La tribu d'un espace mesuré où est une mesure finie. si et sinon.Cette pseudo-distance est parfois appelée la pseudo-distance de Markzewisky–Steinhaus.

Cas particuliers

Si est un écart sur un ensemble , alors est une pseudo-distance sur . Si est une semi-norme sur un espace vectoriel , alors est une pseudo-distance sur . Réciproquement, toute pseudo-distance invariante par translation et homogène provient d'une semi-norme.

Propriétés topologiques La topologie pseudo-métrique. associée à une pseudo-distance est celle induite par l'ensemble des boules ouvertes : . Un espace topologique est dit « pseudo-métrisable » s'il existe une pseudo-distance dont la topologie associée coïncide avec celle de l'espace.

Remarque : un espace est métrisable si (et seulement si) il est pseudo-métrisable et T.

Identification métrique En quotientant un espace pseudo-métrique par la relation d'équivalence d'annulation de la pseudo-distance, on obtient un espace métrique. Plus explicitement, on définit , et l'on obtient une distance sur en posant : . La topologie de l'espace métrique est la topologie quotient de celle de .

Notes et références

Bibliographie

Voir aussi

Espace métrique Espace quasi-métrique Espace uniforme

Catégorie:Espace métrique Catégorie:Topologie