Le quotient isopérimétrique ou coefficient isopérimétrique est une grandeur sans dimension permettant d'évaluer la rondeur ou la sphéricité d'une surface ou d'un solide. Il dépend de la forme de l'objet étudié et non de sa taille (invariance d'échelle). Ce quotient est un descripteur de forme classiquement utilisé en analyse de forme.
Initialement défini dans le plan pour comparer deux surfaces ayant un même périmètre, il est lié à tous les problèmes d'isopérimétrie.
La notion se généralise ensuite aux espaces supérieurs en conservant le même nom.
Dans les sources, on rencontre plusieurs expressions non équivalentes du quotient isopérimétrique.
Dans le plan On considère un domaine mesurable ayant une frontière rectifiable, c'est-à-dire d'aire finie et de périmètre fini.
Définition en référence au disque Le quotient isopérimétrique de est défini comme le rapport entre l'aire de ce domaine et l'aire d'un domaine de même périmètre et d'aire maximale, domaine qui est un disque «Isoperimetric quotient (IQ) number of a closed curve», The Concise Oxford Dictionary of Mathematics (4). C'est alors toujours un nombre compris entre 0 et 1, qui atteint 1 pour un disque Voir théorème isopérimétrique.
Si est l'aire de et son périmètre, l'aire du disque de périmètre est égale à ; le quotient isopérimétrique q est égal àEric W. Weisstein, «Isoperimetric quotient», CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, 2002 p. 1546 :
Exemple : le quotient isopérimétrique d'un polygone régulier à côtés est:
Lorsque tend vers l'infini, ce quotient tend vers 1. On retrouve l'idée qu'un polygone régulier à côtés "ressemble" de plus en plus à un disque lorsque augmente.
Définition par comparaison de l'aire et du périmètre Le quotient isopérimétrique peut d'autre part être défini comme le rapport entre le carré du périmètre et l'aireChakerian, G. D. “The Isoperimetric Quotient: Another Look at an Old Favorite.” The College Mathematics Journal, vol. 22, no. 4, 1991, pp. 313–315. [www.jstor.org/stable/2686234 JSTOR],
Avec cette nouvelle acception, le quotient isopérimétrique atteint un minimum de pour le disque et peut prendre des valeurs infiniment grandes quand l'aire de tend vers 0 et que son périmètre reste constant.
Dans l'espace Pour un solide de volume et d'aire , on retrouve les deux définitions. Le quotient isopérimétrique de est le rapport entre le carré du volume de ce solide et le carré du volume d'un solide de même aire et de volume maximal, solide qui est une boule sphérique ; le carré du volume de la boule d'aire étant égal à , on définit Kremer, Hermann and Weisstein, Eric W. «Isoperimetric Quotient From MathWorld--A Wolfram Web Resource. : . Certains auteurs utilisent la racine cubique de ce quotient isopérimétrique, dénommée : . Par comparaison entre le volume et la surface:
Le quotient varie de 0 à 1 et atteint son maximum pour la boule. Le quotient varie de à l'infini et atteint son minimum pour la boule.
Le quotient isopérimétrique d'un solide ne doit pas être confondu avec son rapport aire-volume.
Exemples Le coefficient isopérimétrique du cube est .
Pour un polyèdre convexe ayant une sphère inscrite de rayon tangente à toutes les faces, le coefficient isopérimétrique est égal au quotient de l'aire de la sphère inscrite par l'aire totale du polyèdre : .
D'après la formule du volume d'une pyramide, le volume du polyèdre est , donc le coefficient isopérimétrique est .
Dimensions supérieures Pour un compact dans un espace euclidien de dimension muni de la mesure de Lebesgue, le quotient isopérimétrique est souvent défini par l'égalité Peter M. Gruber, Convex and discrete Geometry, Springer Science & Business Media, 2007, p. 203:
où est la frontière de .
Ce quotient atteint son minimum pour la boule.
On trouve parfois, une troisième définition du quotient isopérimétriqueExamen de Master 2 de Mathématiques de la modélisation, Université Pierre et Marie Curie, 2018 :
Notes et références
Voir aussi Graphe expanseur pour une définition du nombre isopérimétrique dans le cadre de la théorie des graphes Inégalité isopérimétrique Isopérimétrie Rapport aire-volume
Catégorie:Mesure géométrique
en:Isoperimetric ratio