En mathématiques, les constantes de Stieltjes (nommées d'après le mathématicien néerlandais Thomas Joannes Stieltjes) sont les nombres qui interviennent dans le développement en série de Laurent de la fonction zêta de Riemann :
On démontre que chaque est donné par une limite :
avec est la constante d'Euler-Mascheroni.
Propriétés
En utilisant la formule intégrale de Cauchy on trouve :
On a aussi, par analyse complexe:
Et une comparaison série-intégrale montre que :
Cela dit, c'est un majorant d'une précision assez médiocre.
Matsuoka, en 1985., a montré que pour , On sait aussi qu'il y a asymptotiquement la moitié de ces nombres qui sont positifs.
Valeurs jusqu'à 15 Voici les quelques premières valeurs. :
+Valeurs approchées des coefficients de Stieltjes Valeur 0, − − − − − − − − −
Constantes de Stieltjes généralisées
Plus généralement, on définit les constantes comme coefficients du développement en série de Laurent de la fonction zêta de Hurwitz :
Une formule dite de réflexion, souvent attribuée à Almkvist et Meurman (qui l'ont découverte dans les années 1990), avait en fait été obtenue par Carl Johan Malmsten dès 1846 :
(m et n entiers positifs avec m < n).
Références
Voir aussi Article connexe Opérateur de Gauss-Kuzmin-Wirsing
Lien externe
Catégorie:Fonction zêta