En arithmétique, on appelle unité, ou chiffre des unités, le chiffre le plus à droite de la partie entière d'un entier naturel, en base dix sauf précision contraire.
Exemple : le chiffre des unités du nombre est 7 (le chiffre des dizaines est 4, celui des centaines 2, etc.) ; le chiffre des unités de 2 est 2.
Propriétés générales Notons u(n) le nombre correspondant au chiffre des unités de l'entier n. Il est caractérisé par : u(n) est l'unique entier compris entre 0 et 9 qui soit congru à n modulo 10 (en base b, on aurait la même caractérisation en remplaçant 9 par b – 1 et mod 10 par mod b).Par conséquent (pour tous entiers naturels m, n et k) : u(m + n) = u(u(m) + u(n)) et u(mn) = u(u(m)u(n))donc (par récurrence sur k) : u(n) = u((u(n))).
Propriété liée à la base dix
Pour tous entiers naturels n et k, u(n) = u(n).
En effet, n est congru à n mod 10 puisqu'il l'est mod 2 et mod 5 : mod 2 c'est immédiat ; mod 5 ça l'est aussi si n ≡ 0, 1 ou –1 mod 5 (on a même alors n ≡ n mod 5 pour tout entier naturel j impair) ; enfin, si n ≡ ±2 mod 5, cela résulte du fait que modulo 5, (±2) = 4 ≡ (–1) = 1.
Il existe une généralisation en base b si b est un produit de nombres premiers distincts.
Notes et références
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