thumb|Pour tracer la parallèle (h) au diamètre g par n'importe quel point donné P. Choisir un point auxiliaire C n'importe où sur la droite passant par B et P non inclus sur BP. (Steiner)
Dans la branche des mathématiques connue sous le nom de géométrie euclidienne, le théorème de Poncelet-Steiner est l'un des nombreux résultats concernant les constructions à la règle et au compas avec des restrictions supplémentaires imposées aux règles traditionnelles. Ce résultat indique que tout ce qui peut être construit ensemble à la règle et au compas peut être construit à la règle seule, à condition qu'un seul cercle et son centre soient donnés. Ce théorème est lié à l’équivalence du compas rouillé.
Toute construction euclidienne, dans la mesure où les éléments donnés et requis sont des points (ou des lignes), si elle peut être complétée à la fois avec le compas et la règle ensemble, peut être complétée avec la règle seule à condition qu'il existe au moins un cercle avec son centre dans le plan. Bien qu’un compas puisse faciliter considérablement les constructions, il est sous-entendu qu’elle n’a aucun objectif fonctionnel une fois le premier cercle tracé. Toutes les constructions restent possibles, même s'il est bien entendu que les cercles et leurs arcs ne peuvent être tracés sans le compas. Cela signifie seulement que le compas peut être utilisé à des fins esthétiques plutôt qu’à des fins de construction. Tous les points qui définissent de manière unique une construction, qui peuvent être déterminés à l'aide du compas, sont également déterminables sans, quoique avec plus de difficulté.
Les constructions réalisées conformément à ce théorème — reposant uniquement sur l'utilisation d'une règle sans l'aide d'un compas — sont connues sous le nom de constructions de Steiner. Les constructions de Steiner peuvent impliquer n'importe quel nombre de cercles, y compris aucun, déjà dessinés dans le plan, avec ou sans leurs centres. Ils peuvent également impliquer toutes sortes de formes et de courbes uniques préexistantes dans le plan, à condition que la règle soit le seul outil physique à la disposition du géomètre. Alors que le théorème de Poncelet-Steiner stipule l'existence d'un cercle et de son centre, et affirme qu'un seul cercle équivaut à un compas.
Histoire
Au , le mathématicien persan Abu al-Wafa' Buzjani (940−998) envisageait des constructions géométriques à l'aide d'une règle et d'un compas à ouverture fixe, dit « compas rouillé ». Les constructions de ce type semblaient avoir une certaine importance pratique puisqu'elles étaient utilisées par les artistes Léonard de Vinci et Albrecht Dürer en Europe à la fin du . Un nouveau point de vue s'est développé au milieu du XVIe siècle lorsque la taille de l'ouverture était considérée comme fixe mais arbitraire et que la question de savoir combien de constructions d'Euclide pouvaient être obtenues était primordiale.
Le mathématicien de la Renaissance Lodovico Ferrari, élève de Gerolamo Cardano dans un "défi mathématique" contre Niccolò Fontana Tartaglia a pu montrer que "tout Euclide" (c'est-à-dire, les constructions à la règle et au compas dans les six premiers livres des Éléments d'Euclide) pouvaient être réalisées avec une règle et un compas rouillé. En dix ans, des ensembles supplémentaires de solutions ont été obtenus par Cardano, Tartaglia et Benedetti, l'étudiant de Tartaglia. Au cours du siècle suivant, ces solutions furent généralement oubliées jusqu'à ce qu'en 1673, Georg Mohr publie (anonymement et en néerlandais) Euclidis Curiosi contenant ses propres solutions. Mohr avait seulement entendu parler de l'existence des résultats antérieurs et cela l'a amené à travailler sur le problème.
Montrer que "tout Euclide" pouvait être réalisé avec une règle et un compas rouillé n'est pas la même chose que prouver que "toutes" les constructions à la règle et au compas pouvaient être réalisées avec une règle et juste un compas rouillé. Une telle preuve nécessiterait la formalisation de ce qu’une règle et un compas pourraient construire. Ce travail de base a été fourni par Jean-Victor Poncelet en 1822, après avoir été motivé par les travaux de Mohr sur le théorème de Mohr-Mascheroni. Il a également conjecturé et suggéré une preuve possible qu'une règle et un compas rouillé seraient équivalents à une règle et un compas, et de plus, le compas rouillé ne doit être utilisé qu'une seule fois. Le résultat selon lequel "une règle et un cercle unique avec un centre donné équivaut à une règle et un compas" a été prouvé par Jakob Steiner en 1833.
Relations aux autres constructions Diverses autres notions, outils, terminologies, etc., sont souvent associées (parfois vaguement) au théorème de Poncelet-Steiner. Certains sont répertoriés ici.
Constructions de Steiner Le terme de « construction de Steiner » fait généralement référence à toute construction géométrique qui utilise uniquement la règle droite, et est parfois simplement appelé « construction uniquement à la règle ». Aucune stipulation n'est faite sur les objets géométriques qui existent déjà dans le plan ou sur leur placement relatif ; de telles conditions sont postulées à l’avance. De plus, aucune implication n’est faite sur ce qui est ou n’est pas possible à construire.
Par conséquent, toutes les constructions adhérant au théorème de Poncelet-Steiner sont des constructions de Steiner, bien que toutes les constructions de Steiner ne respectent pas la condition d'un seul cercle dont le centre est situé dans le plan. Le théorème de Poncelet-Steiner ne nécessite pas de véritable compas — on suppose que le cercle préexiste dans le plan — donc toutes les constructions ici démontrant le théorème de Poncelet-Steiner sont des constructions de Steiner.
Compas rouillé Le compas rouillé décrit un compas dont la charnière est tellement rouillée qu'elle est fusionnée de telle sorte que ses pattes - l'aiguille et le crayon - sont incapables d'ajuster la largeur. Essentiellement, il s’agit d’un compas dont la distance est fixe et qui trace des cercles d’un rayon prédéterminé et constant, mais arbitraire. Les cercles peuvent être dessinés centrés en n'importe quel point arbitraire, mais le rayon est immuable.
En tant que construction restreinte de paradigme, les « constructions au compas rouillé » permettent l'utilisation d'une règle et d'un compas à largeur fixe. L’équivalence du compas rouillé s'énonce ainsi :
Tous les points nécessaires pour décrire de manière unique toute construction à la règle et au compas peuvent être obtenus avec une règle et un compas à largeur fixe.
Il est bien entendu entendu que le compas à ouverture arbitraire peut être utilisée à des fins esthétiques ; seul l'arc du compas à largeur fixe peut être utilisé pour la construction.
Dans un certain sens, le compas rouillé est une généralisation et une simplification du théorème de Poncelet-Steiner. Même s’il n’est pas plus puissant, il est certainement plus pratique. Le théorème de Poncelet-Steiner nécessite qu'un seul cercle avec un rayon et un point central arbitraires soit placé dans le plan. Comme c'est le seul cercle dessiné, qu'il ait été dessiné ou non par un compas rouillé est sans importance et équivalent. L'avantage des constructions générales de compas rouillés, cependant, est que le compas peut être utilisé à plusieurs reprises pour redessiner des cercles centrés en n'importe quel point souhaité, bien qu'avec le même rayon, simplifiant ainsi de nombreuses constructions. Naturellement, si toutes les constructions sont possibles avec un seul cercle arbitrairement placé dans le plan, alors on peut sûrement en dire autant d'une règle et d'un compas rouillé, avec lesquels au moins un cercle peut être arbitrairement placé.
On sait qu'une règle et un compas rouillé suffisent pour construire tout ce qui est possible avec une règle et un compas standard - avec la compréhension implicite que des arcs de cercle de rayons arbitraires ne peuvent pas être dessinés et ne doivent être dessinés qu'à des fins esthétiques plutôt que constructives. . Historiquement, cela a été prouvé lorsque le théorème de Poncelet-Steiner a été prouvé, ce qui constitue un résultat plus fort. Le compas rouillé rouillée n’est donc ni plus faible, ni plus fort que le théorème de Poncelet-Steiner.
Le théorème de Poncelet-Steiner réduit l'équivalence du compas rouillé de Ferrari, prétendue à l'époque, à un compas à usage unique : Tous les points nécessaires pour décrire de manière unique toute construction au compas peuvent être obtenus avec seulement une règle, une fois le premier cercle placé. Le théorème de Poncelet-Steiner prend le scénario d’un compas rouillé et brise complètement le compas après sa première utilisation.
Théorème de Steiner Ne doit pas être confondu avec le théorème de Huygens-Steiner
Si un seul cercle doit être donné et aucune autre information particulière, le théorème de Steiner implique que le centre du cercle doit être fourni ainsi que l'arc du cercle. Cela se fait en prouvant l'impossibilité de construire le centre du cercle à partir d'une seule règle en utilisant un seul cercle dans le plan, sans son centre. Un argument utilisant les homographies et les est utilisé.
Avec un seul cercle prévu dans le plan, son centre ne peut pas être construit par la seule règle.
Un résumé naïf de la preuve est le suivant. Avec l'utilisation d'un outil à règle, seules les transformations projectives linéaires sont possibles, et les transformations projectives linéaires sont des opérations réversibles. Les lignes se projettent sur des lignes sous n'importe quelle transformation projective linéaire, tandis que les coniques se projettent sur des coniques sous une transformation projective linéaire, mais ces dernières sont asymétriques de telle sorte que excentricités, foci, et les centres des cercles ne sont pas conservés. Sous différentes suites de prolongements, le centre ne se projette pas de manière unique et réversible. Ce ne serait pas le cas si des lignes pouvaient être utilisées pour déterminer le centre d’un cercle. Comme les transformations linéaires sont des opérations réversibles et produiraient donc des résultats uniques, le fait que des résultats uniques ne soient pas possibles implique l'impossibilité de constructions de points centraux. Le caractère unique du centre construit dépendrait d'informations supplémentaires qui rendraient la construction réversible.
Il n’est donc pas possible de construire tout ce qui peut être construit avec une règle et un compas avec la seule règle. Par conséquent, les exigences du théorème de Poncelet-Steiner ne peuvent être affaiblies par rapport au centre du cercle. Si le centre du seul cercle donné n'est pas fourni, il ne peut pas être obtenu par une règle seule. De nombreuses constructions sont impossibles avec une règle seule. Il faut quelque chose de plus, et un cercle dont le centre est identifié suffit.
Cadres alternatifs au cercle unique avec son centre Alternativement, le centre peut être omis avec suffisamment d'informations supplémentaires. Il ne s’agit pas d’une version plus faible du théorème de Poncelet-Steiner, mais simplement d’un cadre alternatif. Ce n'est pas non plus une contradiction avec le théorème de Steiner qui ne postule qu'un seul cercle. L'inclusion de ces informations alternatives suffisantes, qui incluent toujours au moins deux cercles, lève l'ambiguïté des mappages sous les transformations projectives, permettant ainsi à diverses constructions de Steiner de récupérer le centre du cercle.