En géométrie affine, les coordonnées barycentriques d'un point par rapport à un repère barycentrique sont une famille de poids permettant de définir ce point comme barycentre dans ce repère. Elles ont été introduites en 1827 par August Möbius, dans son ouvrage Der barycentrische Calcul, ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie.
Définitions Base affine
Une famille finie de points d'un espace affine E est dite affinement libre, ou encore ces points sont dits affinement indépendants, quand aucun des points n'appartient au sous-espace affine engendré par les autres points. Dans le cas contraire il est dit affinement lié. Par exemple deux points distincts forment une famille affinement libre, de même 3 points non alignés, et 4 points non coplanairesPar exemple , et pour l'ensemble du paragraphe..
De façon équivalente une famille finie est affinement libre quand l'une des conditions suivantes est réalisée : aucun des points n'est barycentre des autres points ; la famille de vecteurs est libre (ou la condition analogue en prenant n'importe lequel des comme origine).
Il suit de la seconde condition et des propriétés des familles libres des espaces vectoriels qu'une famille affinement libre d'un espace affine de dimension finie possède au plus points. On appelle alors base affine (et très souvent repère affine) une famille affinement libre maximale, et la seconde condition devient :
Une base affine d'un espace affine E de dimension finie n est donc une famille affine libre de points. Ainsi 2 points distincts d'une droite forment une base affine de celle-ci, 3 points non alignés d'un plan forment une base affine de ce plan, 4 points non coplanaires d'un espace de dimension 3 une base de celui-ci, etc.
L'espace affine engendré par , c'est-à-dire le plus petit sous-espace affine contenant ces points, est l'espace affine E tout entier si ces points forment une base affine de E.
vignette|L'isobarycentre G des 3 points non alignés (A,B,C) a pour coordonnées barycentriques dans ce repère du plan (1,1,1) ou, en coordonnées normalisées,
Coordonnées barycentriques Soit une base affine, encore appelée repère barycentrique ou encore repère affine d'un espace affine E. Alors, tout point M de l'espace affine peut s'écrire comme un barycentre des points du repère, c'est-à-dire qu'il existe scalaires vérifiant :
avec et de plus deux systèmes de scalaires vérifiant ceci sont multiples l'un de l'autre.
On appelle alors coordonnées barycentriques, ou coefficients barycentriques, du point M un tel système de « poids » , et les coordonnées barycentriques de M ne sont pas uniques, mais seulement uniques à un coefficient multiplicateur non nul près. Elles peuvent être définies de manière unique en fixant la somme des coordonnées égale à 1 : de telles coordonnées sont dites normalisées ou absolues.
Les coordonnées barycentriques homogènes, notées sont la classe d'équivalence dans l'espace projectif de . Ceci permet d'écrire par exemple .
Dans le plan Dans le plan, les trois sommets d'un triangle ABC non aplati constituent un repère barycentrique. Son centre de gravité G est le point de coordonnées barycentriques (1,1,1) par rapport au repère (A,B,C).
En notant I le milieu de [BC], G a pour coordonnées barycentriques (1,2) par rapport au repère (A,I) de la droite (AI).
Dans ce triangle, le point I est de coordonnées (0,1,1) par rapport au repère (A,B,C).
vignette|Interprétation des coordonnées barycentriques en termes de rapports d'aires.|500x500px
La notion d'aire, bien que souvent introduite en géométrie euclidienne, est une notion affine. Plus précisément, c'est l'aire algébrique d'un triangle orienté dans le plan que l'on définit, rapportée à l'aire d'un triangle orienté choisi comme unité (ou du parallélogramme d'une base constitué de deux vecteurs, l'ordre des vecteurs n'étant pas indifférent).. C'est en fait le rapport d'aires algébriques dans un même plan qui se définit par le déterminant.
Il est alors possible d'interpréter les coordonnées barycentriques dans le plan en termes d'aire..
Coordonnées barycentriques, déterminant et aire Soit un triangle non plat, c'est-à-dire que () est un repère barycentrique. Alors un point quelconque du plan du triangle , a pour coordonnées les trois déterminants suivants (relatifs à une base quelconque du plan) :
c'est-à-dire que :
avec : . Si la base choisie est , les réels sont alors les coordonnées normalisées de , vérifiant
et ces coordonnées normalisées s'interprètent comme des rapports d'aires algébriques de la façon suivante :
En géométrie réelle, l'aire géométrique usuelle est la valeur absolue de l'aire algébrique. Le résultat vaut pour l'aire géométrique si le point est à l'intérieur du triangle. S'il est à l'extérieur, les signes des coefficients dépendent de l'orientation des triangles considérés (positif si l'orientation est la même que celle du triangle , négative dans le cas contraire, voir schéma).
Coordonnées barycentriques et angles En géométrie euclidienne, une autre façon de calculer les coordonnées barycentriques d'un point P consiste à considérer les angles orientés : .
Alors les coordonnées barycentriques de P sont : .
Exemples Voici les coordonnées barycentriques de quelques points remarquables du triangle :
milieu de milieu de milieu de centre de gravité centre du cercle inscrit ou centre du cercle circonscrit ou ou encore . orthocentre ou centre du cercle d'Euler point symédian (ou point de Lemoine)
On trouvera dans l'encyclopédie des centres de triangle (ETC) les coordonnées barycentriques de milliers de points remarquables du triangle.
Convexité L'enveloppe convexe d'un ensemble de points E rassemble tous les points admettant des coordonnées barycentriques à coefficients tous positifs par rapport à une famille de points de E, Prop. 11.1.8.4, tome 3, p. 26 dans l'édition de 1978..
Lien avec les coordonnées cartésiennes Dans un espace vectoriel muni d'une base , la famille de vecteurs constitue un repère barycentrique pour la structure d'espace affine canonique et tout vecteur de coordonnées relativement à la base , correspond au point affine de coordonnées barycentriques , où est la somme des coefficients . Lien avec les coordonnées projectives
Les coordonnées projectives peuvent être interprétées comme des coordonnées barycentriques dans un repère formé de l'origine et des points à l'infini des axes.
Notes et références
Bibliographie . Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009 Petite encyclopédie de mathématique, éd. Didier Jean Fresnel, Méthodes modernes en géométrie
Voir aussi Articles connexes Coordonnées barycentriques (astronomie) Fonction de Leibniz, Combinaison barycentrique Diagramme ternaire Coordonnées trilinéaires
Liens externes
Barycentriques