En mathématiques, dans un groupe G, le normalisateur d'une partie X est l'ensemble, noté N(X), des éléments g de G qui normalisent X, c'est-à-dire qui vérifient gXg = X :
Si Y est une partie de G dont tout élément normalise X, on dit que Y normalise XDéfinitions conformes à ..
Propriétés Soient G un groupe, X et Y deux parties de G, H et K deux sous-groupes de G. N(X) est un sous-groupe de G.
N(H) est le plus grand sous-groupe de G dans lequel H est normal, en particulier N(H) = G si et seulement si H est normal dans G. Le centralisateur C(X) de X dans G est un sous-groupe normal de N(X). Pour tout élément x de G, N({x}) = C({x}) = C(x). Désignons par 〈X〉 le sous-groupe de G engendré par la partie X. Alors N(〈X〉) est l'ensemble des éléments g de G tels que gXg et gXg soient contenus dans 〈X〉. On notera que l'inclusion de N(X) dans N(〈X〉) peut être stricte : par exemple, si G est le groupe symétrique S3, si X est le singleton {(1 2 3)}, alors 〈X〉= A3 est normal dans G = S3, donc le normalisateur de 〈X〉 est G tout entier, tandis que le normalisateur de X est le centralisateur de la permutation circulaire (1 2 3), réduit au sous-groupe 〈X〉= A3. Le nombre de conjugués de X dans G est égal à l'indice de N(X) dans G. En particulier, puisque tous les p-Sylow de G sont conjugués, le nombre de p-Sylow de G est égal à l'indice du normalisateur de n'importe lequel d'entre eux. Y normalise X si et seulement si Y est inclus dans N(X). Si K normalise H alors le sous-groupe engendré par H ⋃ K est l'ensemble HK = KH. (Cela se déduit d'une propriété des sous-groupes normaux, en considérant H et K comme deux sous-groupes de N(H) dont l'un est normal.)
Exemples Le normalisateur dans le groupe linéaire du groupe orthogonal est le groupe des similitudes.
Notes et références
Catégorie:Théorie des groupes Catégorie:Action de groupe