Une fraction égyptienne est, suivant les ouvrages, soit simplement une fraction unitaire, une fraction de numérateur égal à un et de dénominateur entier strictement positif, soit une somme de fractions unitaires distinctes. Quand on identifie fraction égyptienne et fraction unitaire, une telle somme peut se nommer développement en fractions égyptiennes, en raccourci développement égyptien. vignette|Un exemple de développement égyptien de 1. Un problème classique est justement d'écrire une fraction (positive) comme somme de fractions unitaires avec des dénominateurs tous différents. En effet tous les nombres rationnels positifs peuvent être écrits sous cette forme et ce, d'une infinité de façons différentes. Par exemple .
Les anciens Égyptiens utilisaient une écriture pour les fractions qui correspond essentiellement à une telle somme (ils utilisaient aussi la fraction 2/3), et l'étude de telles sommes a continué à faire l'objet d'études lors de la période médiévale et lors de la période contemporaine.
En notation mathématique moderne, les développements en fractions égyptiennes ont été remplacées par les fractions ordinaires et la notation décimale. Néanmoins, ils continuent d'être un objet d'étude en théorie des nombres moderne et en mathématiques récréatives, aussi bien que dans les études historiques modernes des mathématiques anciennes.
Cet article résume ce qui est connu à propos des fractions égyptiennes à la fois anciennes et modernes. Pour les détails des sujets traités ici, voir les articles liés.
Histoire Les fractions dans l'Égypte antique
vignette|Un relief sur trois colonnes du temple d’Horus, à Edfou. À g. : 2/3 et 1/12, et à d. : 1/30 et 1/40 Les anciens Égyptiens exprimaient toutes les fractions de valeur inférieure à 1 comme somme de fractions unitaires toutes distinctes. Les fractions 2/3 et 3/4 étaient, elles, parfois utilisées directement.
Le hiéroglyphe en forme de bouche ouverte qui signifie partie, était utilisé pour représenter le numérateur 1 : D21 Les fractions étaient écrites avec ce hiéroglyphe dessus et le dénominateur en dessous. Ainsi 1/3 était écrit : D21:Z1*Z1*Z1
Il y avait des symboles spéciaux pour les fractions les plus courantes comme 1/2 et pour deux fractions non unitaires 2/3 et 3/4 : Aa13 D22 D23
Si le dénominateur devenait trop large, la « bouche » était placée juste au début du dénominateur : D21:V1*V1*V1-V20*V20:V20*Z1
La « table de 2 » du Papyrus Rhind
vignette|Le papyrus Rhind.
Le papyrus Rhind (vers 1650 av. J.-C.), qui est conservé au British Museum de Londres, est le plus important document nous informant des connaissances mathématiques des temps anciens. Il comporte quatre-vingt-quatre problèmes résolus d'arithmétique, de géométrie et d'arpentage. Mais, avant de prendre connaissance de ces problèmes, l'Égyptien devait avoir à sa disposition différentes tables lui permettant de décomposer directement les fractions non unitaires en fractions unitaires. Une de ces tables, la table dite « des fractions doubles » ou « de 2/n », se trouve en première position sur le papyrus Rhind. Elle répertorie les fractions dont le numérateur est 2 et dont le dénominateur n impair varie de 3 à 101, et donne leur équivalent en somme de fractions unitaires.
Quelques exemples de décomposition en fractions unitaires de la table de 2 :
2/5 → 1/3 + 1/15 2/7 → 1/4 + 1/28 2/9 → 1/6 + 1/18 2/11 → 1/6 + 1/66 2/101 → 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606.
Ces différents résultats furent obtenus par les anciens Égyptiens en appliquant la technique de la division.
Exemple de 2/5 :
1 5 2/3 3 + 1/3 ✔ 1/3 1 + 2/3 ✔ 1/15 1/3 1/3 + 1/15 2
(1 + 2/3) + 1/3 = 2 par conséquent le résultat est 1/3 + 1/15.
Exemple du papyrus Rhind
Le problème numéro 24 du papyrus est le suivant : un nombre ajouté à son septième donne 19, quel est ce nombre ?
Sous forme symbolique moderne, le problème se résout facilement : x + x/7 = 8x/7 = 19, soit x = 133/8.
Le symbolisme algébrique n'existant pas il y a , les Égyptiens utilisaient une méthode que l'on reconstitue comme étant celle dite de la fausse position. On appelle ainsi une méthode de résolution algébrique consistant à fournir une fausse solution qui conduit, ici par proportionnalité, à la solution du problème considéré.
Dans notre exemple, l'idée première est de se débarrasser du dénominateur gênant en choisissant 7 comme fausse solution : le scribe obtient 8 dans le calcul du nombre augmenté de son septième. Comme pour une telle équation (linéaire), on a proportionnalité entre la fausse solution 7 qui donne 8, et la solution cherchée qui doit donner 19. Une règle de trois donne donc cette solution, soit x = (19 × 7)/8.
Cela correspond à ce qui est proposé dans le papyrus : on divise 19 par 8, ce qui fournit 2 + 1/4 + 1/8 et multiplie le tout par 7 = 1 + 2 + 4, ce qui fournit (2 + 1/4 + 1/8) + (4 + 1/2 + 1/4) + (9 + 1/2), soit 16 + 1/2 + 1/8.
Mathématiques médiévales
La notation sous forme de fractions égyptiennes a été utilisée pendant la période grecque et même au Moyen Âge.
Le Liber abaci (1202) de Fibonacci contient plusieurs sections sur les mathématiques liées aux fractions égyptiennes. La plus connue de ces dernières est l'algorithme glouton pour le calcul des fractions égyptiennes, par le choix répété de la fraction unitaire avec le plus petit dénominateur qui n'est pas plus grande que la fraction restant à développerL'algorithme glouton de Fibonacci a été redécouvert dans les années 1800 par le mathématicien britannique James Joseph Sylvester. Ses propriétés sont détaillées dans la suite de l'article..
Fibonacci propose aussi de chercher une représentation du numérateur de la fraction comme somme de diviseurs du dénominateur, ce qui fournit alors un développement égyptien. Ceci est possible lorsque le dénominateur est un nombre pratique.
Dans le Liber Abaci, Fibonacci a écrit aussi à propos de la forme ascendante d'une fraction continue, qui peut être réécrite comme développement égyptien : . Un développement de cette forme dans lequel les entiers ai sont croissants est appelé un développement en série de Engel. Chaque nombre rationnel possède un développement de Engel fini, tandis que les nombres irrationnels ont un développement de Engel infini.
Études modernes Les théoriciens des nombres modernes ont étudié beaucoup de problèmes reliés aux fractions égyptiennes, incluant les problèmes de borne pour la longueur ou de dénominateur maximum dans les représentations en fractions égyptiennes, la recherche de recouvrement ou de développements de certaines formes spéciales ou dans lesquels les dénominateurs sont tous d'un certain type spécial, l'arrêt de diverses méthodes pour les développements en fractions égyptiennes et ont montré que les développements existent pour un ensemble suffisamment dense quelconque de nombres suffisamment lisses. Des mathématiciens connus tels que James Sylvester, Solomon Golomb, Wacław Sierpiński, Paul Erdős, Ernst G. Straus, Ronald Graham, ou Gérald Tenenbaum ont notamment contribué à ce champ de recherche.
Existence d'un développement égyptien pour tout rationnel positif Ce chapitre explique, par étapes successives, comment on peut démontrer que tout nombre rationnel positif peut être exprimé sous forme de développement égyptien.
E1 : le nombre 1 et toute fraction unitaire peuvent être exprimés en développement égyptien On remarque que , qui est un développement égyptien. Pour tout , on remarque que : . Donc , ce qui est un développement égyptien car donc . La propriété annoncée est donc démontrée. On a aussi démontré que toute fraction unitaire avec peut être décomposée comme la somme de deux fractions unitaires distinctes, et que le nombre peut l'être comme somme de trois fractions unitaires distinctes.
La donne le nombre de développement égyptiens de longueur donnée du nombre 1.
E2 : tout rationnel positif inférieur à 1 peut être exprimé sous forme de développement égyptien L'application de l'algorithme de Fibonacci permet de construire un tel développement égyptien.
Le principe de cet algorithme est le suivant : on soustrait à une fraction (inférieure à 1) la plus grande fraction égyptienne qui lui est inférieure ou égale. Si le reste de cette soustraction est nul, c'est que la fraction est elle-même égyptienne, donc décomposable en fractions égyptiennes (voir le chapitre précédent), et on arrête le calcul. Sinon, on obtient comme reste de cette soustraction un rationnel, donc une fraction, qui est positif et strictement inférieur à la fraction initiale. On recommence le processus précédent sur cette nouvelle fraction, et ainsi de suite. On démontre que cet algorithme conduit, à l'issue d'un nombre fini d'itérations, à un développement égyptien de la fraction initiale.
Exemple d'application :
Cet algorithme garantit bien de trouver un développement égyptien, mais peut conduire à ce que le développement obtenu contienne un grand nombre de termes, ou des termes dont le dénominateur est très grand. Par exemple il développe comme suit :
D’autres méthodes conduisent à un développement bien plus simple, comme : .
E3 : tout nombre rationnel positif peut être exprimé sous forme de développement égyptien commençant par toute fraction unitaire qui lui est inférieure Plusieurs méthodes peuvent être utilisées pour démontrer cette propriété. Celle explicitée ci-dessous s'appuie sur la série harmonique , série strictement croissante divergente de terme général :
Propriétés Depuis le , les développements égyptiens ont fait l'objet de nombreuses études, relatives notamment à la taille de ces développements, ou à l'existence de développements soumis à diverses contraintes. Certaines des propriétés étudiées, démontrées ou conjecturées, sont indiquées dans ce chapitre.
Infinité de développements égyptiens d'un rationnel positif Tout nombre rationnel positif peut être décomposé d'une infinité de façons différentes en somme de fractions égyptiennes. Ceci est une conséquence de la démonstration précédente montrant que tout nombre rationnel peut être décomposé de la sorte en choisissant arbitrairement la plus petite fraction appartenant à cette décomposition.
Taille minimale du développement Il est possible pour n'importe quelle rationnel d'obtenir un développement égyptien aussi grand que l'on veut en utilisant l'identité et en l'appliquant de manière répétitive au dernier terme d'un de ses développements. On a aussi vu plus haut qu'il est même possible de faire commencer tout développement d'un rationnel par n'importe quelle fraction unitaire qui lui est inférieure.
L'une des questions étudiées par plusieurs mathématiciens est la suivante : quelle est la taille minimale du développement égyptien d'un nombre rationnel donné? et comment construire un développement de cette taille minimale?
Les algorithmes de Fibonacci et de Golomb. donnent un développement dont le nombre de terme est au plus égal au numérateur de la fraction initiale. On peut cependant être plus précis. En effet il existe pour toute fraction une représentation avec au plus termes.
Il est conjecturé que pour tout entier et pour tout , la fraction peut s'écrire comme la somme de fractions égyptiennes dès lors que est suffisamment grand. D'autres conjectures plus spécifiques ont été émises.
Conjectures d'Erdős-Straus et de Sierpiński
En 1948, Paul Erdős et Ernst G. Straus ont conjecturé que pour tout entier , peut s'écrire comme somme de trois fractions égyptiennesContrairement aux développements égyptiens, dans les deux cas les nombres a, b et c ne sont pas nécessairement tous différents.
.
De même, Wacław Sierpiński a conjecturé en 1956 que pour tout entier , il existe trois naturels , et tels que: .
Aucune de ces deux conjectures n'est démontrée à ce jour, même s'il existe beaucoup de résultats assez forts concernant notamment la conjecture d'Erdős-Straus.
Plus grand dénominateur Majorant