thumb|Représentation des quatre premiers nombres pentagonaux : la représentation du n-ième s'obtient en entourant la précédente d'un pentagone comportant 3n – 2 nouveaux points.
En mathématiques, un nombre pentagonal est un nombre figuré qui compte des points régulièrement répartis dans un pentagone.
Pour tout entier , d'après les formules générales pour les nombres polygonaux, à l'étape où il y a points dans chaque côté du pentagone, le nombre pentagonal est la somme des premiers termes de la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 3. :
soit le tiers du (3 – 1)-ième nombre triangulaire.
thumb|gauche|Les quatre premiers nombres pentagonaux sont1, 1 + 4 = 5, 5 + 7 = 12 et 12 + 10 = 22.
Les dix premiers sont 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117 et 145 ().
Les nombres pentagonaux sont importants dans la théorie des partitions d'entiers d'Euler et interviennent par exemple dans son théorème des nombres pentagonaux.
Obtention de ces nombres Pour avoir points sur chaque côté du pentagone extérieur, on ajoute à l'étape : points aux sommets du pentagone et points à l'intérieur des côtés, d'où .
Donc .
Autre construction vignette|upright| De la formule générale , découle que est la somme du nombre carré d'ordre : et du nombre triangulaire d'ordre : .
Propriétés
est congru à modulo 3. .
centré|vignette|300x300px|Preuve sans mots des deux propriétés et .
D'après le théorème des nombres polygonaux de Fermat, tout entier naturel est la somme d'au plus 5 nombres pentagonaux et on ne connait que six entiers ne pouvant pas s'écrire comme somme de moins de cinq nombres pentagonaux : . On conjecture qu'il n'y en a pas d'autres, voir la .
Test des nombres pentagonaux Un réel positif est un nombre pentagonal si et seulement si l'équation du second degré 3n – n – 2x possède une solution entière > 0, c'est-à-dire si le réel suivant est entier :
Lorsque est entier, est le -ième nombre pentagonal.
Nombres pentagonaux généralisés Les nombres pentagonaux généralisés sont les nombres de la forme , mais avec entier relatif, ou encore : les nombres de la forme avec entier naturel. Les vingt premiers termes de cette suite d'entiers sont 0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126 et 145 ().
Notes et références
Voir aussi
Articles connexes Nombre pentagonal centré Nombre dodécaédrique Nombre dodécaédrique centré
Liens externes
Pentagonal