Liste de nombres - Nombres irrationnels - φ - - - e - πvignette|La hauteur d'un triangle équilatéral de côté 2 est Binaire 1.1011101101100111101... Décimal 1.7320508075688772935... Hexadécimal 1.BB67AE8584CAA73B... Fraction continue

En mathématiques, la racine carrée de trois est le nombre réel positif dont le carré est exactement. Notée ou , elle vaut approximativement . Le rationnel en est une approximation par excès à près.

Définition, notation et énonciation Il existe deux nombres réels opposés dont le carré est ; autrement dit : possède deux racines carrées, opposées. Par convention, la notation désigne la racine carrée positive de , et nécessairement, désigne la racine carrée négative de . Mais se lit simplement racine carrée de trois, voire plus simplement racine de trois. Dans le corps des nombres complexes, la notation désigne la détermination principale de la racine carrée prise au point . Le symbole ou s’appelle un radical. se note également , qui se lit trois puissance un demi. Dans les langages informatiques, s'écrit en général sqrt(3), par exemple Math.sqrt(3)en JavaScript.

Irrationalité

La racine carrée de 3 est irrationnelle, comme celle de tout entier naturel qui n'est pas un carré parfait (voir l'article détaillé pour des démonstrations).

Au , Théodore de Cyrène aurait démontré des résultats d'incommensurabilité correspondant à l'irrationnalité des racines carrées des entiers de 3 à 17, .C'est la raison qu'invoque Eric Weinstein pour donner le nom de constante de Théodore à , voir avec bibliographie et liens vers l'OEIS pour son développement en système décimal, en système binaire, et en fraction continue..

Développement décimal ; ses décimales forment la .

Dix milliards de décimales ont été calculées en 2013..

On conjecture que, comme tout irrationnel algébrique, est un nombre normal, à savoir que toute suite finie de décimales consécutives (ou séquence) apparaît avec la même fréquence limite que toute séquence de même longueur, p. 175.

Développements en fraction continue et applications vignette|350x350px|Construction de la suite homographique ; les termes d'indice pair croissent vers , ceux d'indice impair décroissent vers . La méthode de Bombelli utilisant pour la relation permet d'obtenir le développement en fraction continue généralisée :

Pour , on obtient :

..

En simplifiant par 2 un étage sur deux on obtient le développement en fraction continue simple de () :

.

Ce développement est bien périodique (période de longueur 2) comme pour tout irrationnel quadratique (irrationnel solution d'une équation de degré 2 à coefficients entiers), et le théorème de Legendre est bien vérifié.

Les neuf premières réduites communes à ces deux développements sont :

Comme pour toute fraction continue d’un nombre irrationnel, elles constituent les meilleures approximations de .

Elles forment la suite , récurrente homographique, définie par : .

Les deux sous-suites sont adjacentes de limite et l'on a .

On en déduit l'encadrement : qui était connu d'Archimède..; pour fixer les idées : .

Le rationnel est égal à où sont les entiers définis par ; les suites sont définies par .

On en déduit les expressions explicites :

, où signifie l'entier le plus proche de .

Les numérateurs réduits des forment la , et les dénominateurs réduits la .

La méthode de Bombelli pour conduit à la fraction continue généralisée : dont la suite des réduites est la sous-suite de .

Approximations rationnelles

Méthode de Héron La méthode de Héron fournit une suite, dite suite de Héron., qui converge vers la racine carrée d'un nombre réel positif . Quand cette suite, convergeant vers , est définie par : .

Ses premiers termes sont : (approximation à 10-4 près de ).

Les numérateurs de cette suite forment la , et ses dénominateurs la .

La suite est une sous-suite de la suite des réduites de la fraction continue de . Plus précisément : ; en voir une démonstration dans l'

La suite , pour , décroît rapidement vers (convergence quadratique).

La suite associée converge en croissant vers d'où l’encadrement pour tout :

.

Méthode de Halley La méthode de Halley fournit une suite qui croit encore plus rapidement vers (convergence cubique), définie par : .

Ses premiers termes sont : .

Les numérateurs de cette suite forment la .

La suite est une sous-suite de la suite des réduites de la fraction continue de . Plus précisément : .

Expression comme somme de série ; voir Coefficient binomial central, Série génératrice.

Expressions par radicaux infiniment imbriqués ; voir Radical imbriqué, Racine carrée. car .

En trigonométrie admet plusieurs expressions trigonométriques : où et sont des angles exprimés en radians

En algèbre est un nombre algébrique de polynôme minimal , donc un entier quadratique (entier algébrique de degré 2).

Les racines cubiques de l'unité sont : et

En géométrie La diagonale d'un cube de côté vaut . La hauteur d'un triangle équilatéral de côté vaut . Ceci donne un moyen de construction de à la règle et au compas. Cette propriété entraîne les suivantes : l'aire d'un triangle équilatéral de côté vaut ; l'aire d'un tétraèdre régulier de côté vaut donc ; la distance entre deux côtés opposés d'un hexagone régulier de côté vaut ; est le rapport des longueurs des diagonales d'un losange d'angles et ; est le rapport entre la longueur et la largeur de la figure Vesica piscis.

Rectangle de format Le rectangle de format (rapport longueur sur largeur) est étudié dans le cadre de la . en fait l'objet de la leçon 8 de son ouvrage Elements of Dynamic Symmetry - p 48 et suivantes (republication d'un ouvrage de 1926) et lui donne le nom de root-three rectangle.

note sa présence dans la silhouette de vases grecs, pp. 65-68, 170 et suivantes, et Rachel Fletcher la recherche dans l'œuvre d'Andrea Palladio..

en fait le des 12 rectangles remarquables (les orthogones) qu'il étudie dans son ouvrage Das Buch vom Rechteck: Gesetz und Gestik des Räumlichen. Il lui donne le nom de Sixton..

Ce rectangle se construit à partir de la moitié d'un triangle équilatéral et a même aire que celui-ci. Une autre construction possible consiste à construire à partir d'un carré un rectangle de format (format A4), lequel sert à construire le rectangle final. Il se partage aisément en trois rectangles de même format et se trouve naturellement inscrit dans un hexagone..

est le plus petit format d'un rectangle de papier permettant de construire sans déchirure un ruban de Möbius..

Notes et références

Voir aussi

Somme quadratique de Gauss Racine carrée d'un entier naturel Racine carrée de deux Racine carrée de cinq Racine carrée de six Racine carrée de sept Racine carrée de dix

3 Catégorie:Constante mathématique Catégorie:3 (nombre)