vignette|Charles Jacobi, mathématicien à l'origine du symbole de Jacobi Le symbole de Jacobi est utilisé en mathématiques dans le domaine de la théorie des nombres. Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien prussien Charles Gustave Jacob Jacobi.. C'est une généralisation du symbole de Legendre.
Définition Le symbole de Jacobi est défini pour tout entier relatif et tout entier naturel impair comme produit de symboles de Legendre, en faisant intervenir la décomposition en facteurs premiers de : pour tout et tous nombres premiers impairs (non nécessairement distincts), .
Propriétés Soient positifs impairs et entiers quelconques. AlorsVoir par exemple :
le lien ci-dessous vers Wikiversité. : ; si est premier, le symbole de Jacobi est simplement le symbole de Legendre ; si et ne sont pas premiers entre eux, ; si et sont premiers entre eux, ;
si alors ; généralisation de la loi de réciprocité quadratique : théorème fondamental : , première loi complémentaire :, deuxième loi complémentaire :.
Résidus Les énoncés généraux sur les résidus quadratiques faisant intervenir le symbole de Legendre ne s'étendent pas au symbole de Jacobi : si alors n'est pas un carré mais si , n'est pas nécessairement un carré . Par exemple : mais n'est pas un carré (ni même ).
Notes et références
Voir aussi
Symbole de Kronecker (théorie des nombres)
Catégorie:Caractère de Dirichlet