vignette|Photo de Nathan Jacobson, mathématicien qui a inventé et donné son nom au radical de Jacobson. En algèbre, le radical de Jacobson d'un anneau commutatif est l'intersection de ses idéaux maximaux. Cette notion est due à Nathan Jacobson qui le premier en a fait l'étude systématique. Un élément x appartient au radical de Jacobson de l'anneau A si et seulement si 1 + ax est inversible pour tout a de A.
Notons J le radical de Jacobson de l'anneau commutatif A et exploitons le fait que (d'après le théorème de Krull) 1 + ax est non inversible si et seulement s'il appartient à un idéal maximal. Si x n'appartient pas à J, soit M un idéal maximal ne contenant pas x. Alors M + Ax = A donc il existe m dans M et a dans A tels que 1 = m – ax, et 1 + ax n'est pas inversible. Réciproquement, si, pour un certain a dans A, 1 + ax appartient à un idéal maximal M, alors M ne contient pas x, donc x n'appartient pas à J.
Dans le cas non commutatif, on définit le radical de Jacobson comme étant l'intersection de tous les idéaux maximaux à gauche et l'on a encore : x appartient au radical si et seulement si tous les sont inversibles à gauche.. C'est un idéal bilatère et on aurait pu définir de manière équivalente le radical de Jacobson comme l'intersection de tous les idéaux maximaux à droite.
Notes et références
Articles connexes Anneau semi-primitif (anneau dont le radical de Jacobson est nul) Nilradical
Catégorie:Idéal Catégorie:Théorie des anneaux Catégorie:Algèbre commutative