En mathématiques, un nombre de Sierpiński est un entier naturel impair pour lequel tous les nombres de la forme sont composés (c'est-à-dire non premiers), quel que soit l'entier naturel .
En 1960, Wacław Sierpiński montra qu'il existe une infinité de ces nombres.
Liste des premiers nombres de Sierpiński
Les premiers nombres de Sierpiński prouvés, entre 0 et , sont :
, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ... .
Il n'est pas certain que cette liste soit exhaustive ; il n'est en effet pas prouvé que soit le plus petit nombre de Sierpiński.
Exemple de vérification d'un nombre de Sierpiński :
John Selfridge prouva en 1962 que = 17 × est un nombre de Sierpiński et conjectura que c'est le plus petit.
La démonstration utilise le fait que tout choix de rentre dans au moins une des 7 catégories suivantes garantissant chacune un facteur pour .
Selfridge démontra en effet que : est un multiple de 3 ; est un multiple de 5 ; est un multiple de 7 ; est un multiple de 13 ; est un multiple de 19 ; est un multiple de 37 ; est un multiple de 73.
Ainsi, on peut construire la table des exposants modulo 36 :
Si l'exposant est congru modulo 36 à ... (valeurs de la première ligne ci-après), alors N a pour diviseur ... (valeurs de la seconde ligne ci-après) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3 5 3 73 3 5 3 7 3 5 3 13 3 5 3 19 3 5 3 7 3 5 3 13 3 5 3 37 3 5 3 7 3 5 3 13
Ainsi, par congruence, tous les exposants sont considérés, ce qui veut dire qu'aucun terme de la suite n'est premier premier.
On peut dire la même chose des nombres de Sierpiński prouvés suivant, à savoir : , , , , , , , , , , , , , , , , , etc.
Détermination du plus petit nombre de Sierpiński
Il est conjecturé que est le plus petit nombre de Sierpiński. Pour le montrer, il suffit de trouver pour chaque nombre impair plus petit un exposant tel que soit premier. En 2000, il ne restait plus que 17 candidats possibles.
, le projet de calcul distribué, commença à tester ces dix-sept nombres pour voir s'ils pouvaient être éliminés de la liste des nombres de Sierpiński possibles. Si le projet trouve que tous ces nombres génèrent un nombre premier, le projet aura trouvé une preuve de la conjecture de Selfridge.
Le projet réussit à trouver onze nombres premiers supplémentaires ; en conséquence, il ne reste plus que 6 nombres à tester. Le a été trouvé en .
En , à la suite d'un incident provoquant la perte des serveurs, le projet est arrêté. Les tests continuent alors sur PrimeGrid. En , un nombre est trouvé.
Détermination du plus petit nombre de Sierpiński premier
Il est conjecturé que le plus petit nombre de Sierpiński premier est .
Notes et références
The Sierpiński Problem: Definition and Status compiled by Wilfrid Keller on prothsearch.com
Voir aussi Articles connexes Nombre de Riesel
Catégorie:Théorie analytique des nombres Sierpinski Sierpinski