Luitzen Egbertus Jan Brouwer (né le à Overschie et mort le à Blaricum) est un mathématicien néerlandaisLuitzen Egbertus Jan Brouwer sur Encyclopædia Britannica..
Biographie Jeunesse Aîné de trois enfants, ce fils du maître d'école Egbertus Luitzens Brouwer et de Henderika Poutsma, témoigne dès son plus jeune âge d'une intelligence exceptionnelle. À 16 ans seulement, le jeune prodige s'inscrit à l'université d'Amsterdam pour y étudier les mathématiques, sans pour autant négliger ses lectures de chevet, celles des philosophes Emmanuel Kant et Arthur Schopenhauer. N'étant guère sociable, du fait de ses capacités fulgurantes, toujours en avance de plusieurs années sur son cursus scolaire, le jeune homme confirme à l'âge de 17 ans sa foi au sein de la Fraternité remontrante, ce qui achève de prouver son individualisme opiniâtre. Pour Bertus , seuls prévalent le moi, celui que nous connaissons, et Dieu, celui que nous ressentons. Les autres ne méritent que dédain, pour reprendre ses propres mots. À l'université, le jeune Brouwer se montre influencé par les mouvements néoromantiques qui condamnent alors le progrès scientifique dans une défense du retour à la nature. Ces idées l'amènent à rédiger un écrit de jeunesse qu'il publie en 1905 : Leven, Kunst en Mystiek. Deux professeurs l'influencent fortement : d'une part son directeur de thèse, Diederik Korteweg, d'autre part Gerrit Mannoury (1867-1956), à la fois mathématicien et philosophe, qui a encouragé aux Pays-Bas l'étude des fondements des mathématiques. Sur le plan sentimental, il sait réviser son jugement dès lors qu'il épouse ses idéaux rousseauistes. Car, bien qu'ouvertement misogyne, Brouwer se marie en 1904 avec Élisabeth de Holl, une riche pharmacienne divorcée, de onze ans son aînée. Lize ne lui donnera aucun enfant (même si elle a déjà une fille de son précédent mariage), mais son aide économique permet à Brouwer de vivre à l'écart de la cacophonie de la société, tandis qu'il travaille sur ses recherches doctorales. Le , Il décroche à l'université d'Amsterdam le titre de docteur, grâce à sa thèse intitulée Over de grondslagen der wiskunde.
Privat-docent Dans la foulée de ses recherches menées pour sa thèse doctorale, Brouwer se familiarise avec la célèbre liste de problèmes dressée par David Hilbert. Il décide de s'atteler au 5 problème et, lors du Quatrième Congrès international des mathématiques (Rome, 1908), présente un exposé accompagné d'un aperçu de ses recherches à ce stade, qui attire immédiatement l'attention des experts. Peu après, en , après avoir été nommé Privatdozent à l'université d'Amsterdam, Brouwer dédie son premier cours à la nature de la géométrie, présentant lAnalysis situs comme l'aurait fait Klein, c'est-à-dire comme l'étude des propriétés qui restent invariantes sous l'action du groupe des transformations continues. Quelques mois plus tard, lors des fêtes de Noël 1909-1910, Brouwer rencontre à Paris Jacques Hadamard, Henri Poincaré et Émile Borel, entre autres mathématiciens français. De retour aux Pays-Bas, il se replonge dans ses recherches, toujours plus axées sur la topologie. Parmi les articles que Brouwer publie entre 1910 et 1913, l'un se distingue particulièrement : , paru en 1910 dans les Mathematische Annalen, la revue prestigieuse éditée par Hilbert et Klein. La démonstration de l'invariance de la dimension, qui consacre Brouwer comme père de la topologie, voit le jour en 1911 à travers cinq pages bien remplies, un contenu soigné publié dans les Mathematische Annalen sous le titre .. Deux ans après, en 1913, Brouwer trouve une seconde preuve, plus subtile et élégante.. Agacé par une autre preuve de l'invariance de la dimension publiée juste après la sienne par Henri Lebesgue dans les Mathematische Annalen, Brouwer décide de la démanteler en lui opposant un contre-exemple probant. En 1911, il présente un théorème dont il peaufinait l'énoncé depuis 1909 : le théorème du point fixe de Brouwer..
Professeur d'université Ses contributions fondamentales à la topologie valent à Brouwer d'être élu membre, en 1912, de l'Académie royale néerlandaise des arts et des sciences. La même année, il est nommé professeur extraordinaire de théorie des ensembles, théorie des fonctions et théorie axiomatique à l'université d'Amsterdam. Quand, le , Brouwer donne son premier cours, il ne traite pas de topologie mais de philosophie des mathématiques, revenant à la question des fondements de la discipline qu'il avait ébauchée dans sa thèse doctorale de 1907. Diederick Korteweg lui cède généreusement sa chaire de professeur ordinaire en 1913, l'année même de la dernière grande contribution de Brouwer aux fondements de la topologie, sa deuxième démonstration de l'invariance de la dimension. Dès lors, il se contente de publier des articles relativement mineurs sur la topologie. En outre, le lancement des hostilités en 1914 paralyse l'activité scientifique en Europe. Une fois la Première Guerre mondiale terminée, il se consacre presque exclusivement au développement de l'intuitionnisme mathématique et des mathématiques intuitionnistes.
Exclu en 1928, à l'instigation de David Hilbert, du comité de rédaction des Mathematische Annalen, Brouwer fonde sa propre revue Compositio Mathematica dans les années 1930. En effet, il refuse de publier dans les Mathematische Annalen à la suite de la . Il embauche un assistant, Hans Freudenthal, un mathématicien Allemand venu de Berlin, naturalisé néerlandais, ambitieux et rétif, et spécialiste de topologie, des fondements, de la philosophie et même de la didactique des mathématiques. Il n'est donc guère étonnant que ses rapports avec Brouwer se soient rapidement dégradés. Brouwer entrave sa promotion et se désintéresse complètement de lui pendant la Seconde Guerre mondiale, lorsque Freudenthal est arrêté en raison de ses origines juives. Après la guerre, il faut un certain temps avant que Brouwer ne récupère son poste de professeur. Il est aussi limogé de la direction de Compositio Mathematica en raison de ses penchants collaborationnistes, et notamment pour avoir encouragé les étudiants de l'université d'Amsterdam à signer une déclaration de loyauté envers l'occupant. Pis cette fois, il est renvoyé du conseil éditorial de sa propre revue. Il devient cependant membre étranger de la Royal Society le et prend sa retraite en 1951.
De plus en plus isolé, Brouwer termine sa vie en aidant sa femme à la pharmacie qu'elle dirige à Amsterdam, et s'intéresse à la politique locale. À l'écart du monde, il se sent stigmatisé, estimant que ses contributions ne sont pas appréciées à leur juste valeur. Néanmoins, il est invité à donner des conférences aux quatre coins du monde (Cambridge en 1947-1951, Madrid en 1949, Afrique du Sud en 1952, Canada et États-Unis en 1953). Mais sa paranoïa augmentant, il affirme de plus en plus être victime de complots de la part de ses collègues. Il meurt octogénaire, en 1966, renversé par une voiture alors qu'il sort de son domicile, à Blaricum.
Ses attitudes L'un des étudiants de Brouwer, le mathématicien néerlandais van der Waerden nous a livré un témoignage exceptionnel sur son ancien professeur. Brouwer, qui ne quitte Blaricum que pour faire cours, n'autorise pas ses étudiants à l'interrompre et fait cours dos à eux, le regard fixé au tableau. Paradoxalement, il n'enseigne jamais la topologie à l'université et se consacre à temps plein à la philosophie des mathématiques, quand bien même de jeunes topologues viennent le rencontrer pendant des années, désireux de faire la connaissance du père de leur discipline. C'est à croire que Brouwer n'est pas convaincu de la validité de ses travaux topologiques du point de vue intuitionniste. Tout au long de sa vie, il publie d'ailleurs des articles dans lesquels il tente partiellement de développer la topologie sous l'angle de l'intuitionnisme. Contre son gré, il devient le Dr Jekyll et Mr Hyde des mathématiques.
Chez lui, il aime à résoudre des problèmes mathématiques allongé dans son lit, les yeux fermés, ou assis par terre en tailleur tel un ascète, ce qui lui permet d'appréhender ces problèmes de manière plus visuelle que formelle, en manipulant mentalement des figures plutôt que des formules. Il accompagne d'ailleurs ses articles consacrés à la topologie de nombreux dessins dont l'abstraction rappelle les peintures du Russe Vassily Kandinsky.
Philosophie de vie Dans l'opuscule incendiaire Leven, Kunst en Mystiek, un écrit de jeunesse publié en 1905, Brouwer fustige la société qui l'entoure, se disant farouchement antiscientifique. Cette œuvre contient de manière surprenante déjà toutes les prémices de sa future vision des mathématiques. Pour lui, l'être humain est un être spirituel, une âme prisonnière d'un corps, il se destine donc à une vie contemplative, dédiée à l'intuition sous sa forme la plus pure. L'intuition, ou plutôt vision intérieure, est la clé de la véritable sagesse, permettant de repousser les frustrations d'un monde marqué par l'isolement et la douleur. C'est à peine si Brouwer mentionne les mathématiques dans ce brûlot, même s'il préfigure là une partie de la philosophie idéaliste et solipsiste qui influencera sa conception des mathématiques, en dévoilant ses doutes sur l'adéquation du langage dans la transmission de nos pensées. Cette vision fondée sur le rejet de la société sera même mise à l'épreuve pour Brouwer lorsqu'il se fera construire un chalet, qualifié familièrement de , dans les bois près de Blaricum. Si le chercheur s'y réfugie pour apaiser ses crises de nerfs, il y accouche de ses meilleurs travaux en topologie et sur les fondements des mathématiques.
Formalisme et intuitionnisme Dans les années 1920, le grand débat sur les fondements des mathématiques tourne essentiellement autour de la querelle entre le formalisme et l'intuitionnisme, avec David Hilbert et Brouwer en chefs de file respectifs. Rapidement, la polémique sort du cadre purement académique pour se transformer en un affrontement direct entre ses protagonistes. En fin de compte, le débat sur les fondements des mathématiques ne sera à l'avantage d'aucun des deux.