Apollonios de Perga ou Apollonius de Perge (en grec ancien / Apollốnios o Pergaíos), né dans la seconde moitié du . (probablement autour de ), mort au début du est un géomètre et astronome grec. Il serait originaire de Pergé (ou Perga, ou encore Pergè actuelle Aksu en Turquie), mais a vécu à Alexandrie.

Il est considéré comme l'une des grandes figures des mathématiques hellénistiques et a exercé une influence importante sur les développements de l'analyse au .

Biographie Apollonius serait né à Perge autour de 240 .. On tient pour vrai et vérifié qu'il étudia au Musée d'Alexandrie et fut contemporain des disciples d'Euclide. Il résida assez longtemps dans la capitale alexandrine, où il développa sa fructueuse activité et exerça comme professeur de géométrie sous le règne de Ptolémée III Évergète et Ptolémée Philopator. Comme le raconte Pappus d'Alexandrie dans la Collection mathématique, où il fait de nombreuses références à l'œuvre d'Apollonios, le grand géomètre avait un caractère mélancolique et irascible, et était d'abord difficile.

Travaux vignette|Les sections coniques, ou figures bidimensionnelles formées par l'intersection d'un plan avec un cône à différents angles. La théorie de ces figures a été largement développée par les anciens mathématiciens grecs. Elles émanent particulièrement des œuvres d'Apollonius de Perga. Apollonios est célèbre pour ses écrits sur les sections coniques : il a donné à l’ellipse, la parabole et l’hyperbole les noms que nous leur connaissons.

Vitruve indique que l’araignée (la pièce mobile de l’astrolabe plan) aurait été inventée par Eudoxe de Cnide ou ApolloniosVitruve (Arch., ix, 9 « Eudoxe l’astrologue (l’astronome) ou, selon quelques-uns, Apollonios (a inventé) l’araignée » cité par François Nau dans l’introduction à la traduction du Traité de l’astrolabe de Sévère Sebôkht..

Pappus d’Alexandrie a donné des indications sur une série d’ouvrages d’Apollonios perdus qui permirent la déduction de leurs contenus par les géomètres de la Renaissance. Sa méthode novatrice et sa terminologie, spécialement dans le domaine des coniques, a exercé une influence considérable sur le développement de l'algèbre au tant sur le continent (VièteFrançois Viète, Apollonius Gallus, Paris: Le Clerc, 1600 (en ligne)., Kepler, FermatPierre de Fermat, Restitution des deux Livres des lieux plans d'Apollonius de Perge, traduit du latin par Paul Tannery, Paris: Gauthier-Villars, 1896 (lire en ligne)., Descartes, Leibniz) qu'en Angleterre (Wallis, Gregory, Newton, Halley).

Ses travaux en font .

Les Coniques vignette|Traduction arabe des Coniques datant du (Bibliothèque bodléienne, MS. Marsh 667, fol. 162b et 164a).

Les Coniques ou Éléments des coniques consistent en un ensemble de huit livres dus à Apollonios. Les quatre premiers nous sont parvenus en grec, avec les commentaires d’Eutocius. Les livres à ne nous sont connus, accompagnés des , que dans une traduction arabe due à Thābit ibn Qurra et revue par Nasir ad-Din at-Tusi ; le a disparu. L’ensemble de cet ouvrage, avec une reconstitution du huitième livre, a été publié (texte grec et traduction latine), par Edmund Halley en 1710. Celui-ci a, de plus, traduit de l’arabe en 1706 deux autres ouvrages d’Apollonios : .

L’analyse des Anciens Outre les Coniques, Pappus mentionne plusieurs autres traités d’Apollonios (les titres en latin sont dus à Commandino) : , (« Sur la section de rapport ») ; , (« Sur la section d’aire ») ; , (« Sur la section déterminée ») ; , (« Les Contacts ») ; , (« Les Inclinaisons »La traduction retenue par Paul Ver Eecke (Les Inclinaisons), calquée sur le latin, comme on le voit à l’énoncé de cette catégorie de problèmes. Une traduction plus parlante serait, à l’exemple des Anglais (), de rendre ce terme par Les Alignements. Plus récemment, les chercheurs, suivant l’exemple d’Abel Rey , tendent à reprendre le terme grec (« problème des neuseis »).) ; , (« Les Lieux plans »). Ces traités, dont chacun comprenait deux livres, étaient compilés, à l’époque où vivait Pappus, avec les Coniques et trois ouvrages d’Euclide (le Livre des données, les Porismes et les Lieux plans) sous le titre générique de Trésor de l’Analyse.

Le propos de l’« analyse des Anciens », tel que l’expose Pappus dans le de sa Collection mathématique, était de trouver une construction à la règle et au compas d’un lieu géométrique donné, ou du moins d’inventorier les cas où une telle construction était possible. Mais Pappus n’a transmis que des résumés des livres d’Apollonios, de sorte que l’étendue et la portée des méthodes de l’analyse a fait l’objet de multiples gloses du au . S’appuyant sur les indices donnés par Pappus et leurs spéculations personnelles, une pléiade de mathématiciens fameux se sont essayés à reconstruire les traités perdus d’Apollonios dans leur ordre original.

Sur la section de rapport Les deux livres du traité sont consacrés au problème suivant :

Sur la section d’aire Les deux livres du traité discutent la résolution d’un problème similaire au précédent : il s’agit cette fois de ; dans la terminologie géométrique des Anciens, l’énoncé demande que les deux segments .

Une copie arabe de La Section de rapport fut retrouvée à la fin du par à la bibliothèque Bodléienne. Bien qu’il eût commencé la traduction de ce document, ce fut Halley qui la mena à terme, et qui la publia en 1706 avec sa reconstitution du .

Sur la section déterminée Le traité traduit par Commandino sous le titre traite pour ainsi dire de problèmes à une dimension d’espace : il s’agit ici de construire sur une droite des segments qui soient dans un rapport donné.

Plus précisément, les problèmes abordés sont les suivants : ; ainsi : si deux points A, B sont donnés, trouver M tel que soit égal à un rapport k donné ; si trois points A, B, C sont donnés, trouver M tel que soit égal à un rapport k donné. Une variante étudiée par Apollonios consiste à donner, outre A, B, C, un segment PQ et à chercher le(s) point(s) M tel que ; si quatre points A, B, C, D sont donnés, trouver M tel que soit égal à un rapport k donné.

Parmi les mathématiciens qui ont cherché à retrouver la solution d’Apollonios, citons : Snellius (Apollonius Batavus, Leyde, 1608) ; Alexander Anderson d’Aberdeen, dans son supplément à (Paris, 1612) ; et Robert Simson dans ses (Glasgow, 1776), de loin la reconstitution la plus détaillée et la plus convaincante.

Les Contacts Le traité est consacré au problème générique suivant :

Le cas le plus difficile et le plus intéressant historiquement parlant est celui où les trois données sont trois cercles. François Viète, à la fin du , proposa ce problème (dit « problème d’Apollonius ») à Adrien Romain, qui ne put le résoudre qu’en utilisant une hyperbole auxiliaire pour la construction. Viète lui répondit en publiant une solution « à la règle et au compas » (c’est-à-dire conforme aux exigences de l’analyse des Anciens), dans son livre (Paris, 1600)La préface de l’édition Camerer des œuvres d’Apollonios (, Gothæ, 1795, ) contient un historique détaillé de ce problème..

Les Inclinaisons Le propos du livre intitulé consiste à . Marin Ghetaldi et Hugo d’Omerique (Analyse géométrique, Cadix, 1698) se sont essayés à ce problème, mais la reconstitution la plus satisfaisante est sans doute celle de Samuel Horsley (1770).

Les Lieux plans contient un ensemble de propositions relatives à des lieux qui s’avèrent être des droites ou des cercles. Comme Pappus d'Alexandrie ne donne que des cas particuliers de ce type de problème, les géomètres modernes ont longtemps été réduits aux conjectures pour trouver l’idée directrice de cette catégorie d’énoncés. Aussi chacun y est-il allé de son interprétation, à commencer par Pierre de FermatGiulio Giorello et Corrado Sinigaglia, Réécrire Apollonius, « Les génies de la science », août-septembre 2007, . (1636, publiée finalement dans ses Œuvres, , 1891, ). Suivirent entre autres Frans van Schooten (Leyde, 1656) et Robert Simson (Glasgow, 1749).

Autres œuvres Les Anciens mentionnent d’autres traités d’Apollonios qui ne sont pas parvenus jusqu’à nous : , Sur les miroirs ardents. On pense que ce traité exploitait les propriétés focales des coniques. , Sur l’hélice circulaire (citée par Proclus de Lycie). Sur le rapport des volumes du dodécaèdre régulier et de l’icosaèdre inscrits dans une sphère. , traitait des principes généraux des mathématiques. Il comportait sans doute des remarques et des pistes d’amélioration pour les Éléments d’Euclide. Dans un traité intitulé (Surgissement), Apollonios démontrait, aux dires d’Eutocius, comment encadrer la valeur du plus précisément qu’Archimède ne l’avait fait : ce dernier avait en effet proposé 3+1/7 comme valeur par excès (3,1428…) et 3+10/71 comme valeur par défaut (3,1408…). Le livre de la Collection mathématique de Pappus (malheureusement mutilé) résume un ouvrage d’Apollonios proposant un système de numération et de multiplication adapté à l’écriture des très grands nombres mieux adapté au langage quotidien que celui proposé par Archimède dans son traité L’Arénaire. Un développement de la théorie des grandeurs irrationnelles du des Éléments d’Euclide, allant des irrationnels binômes aux irrationnels multinômes, et des irrationnels ordonnés aux irrationnels non ordonnés (cf. les commentaires de Pappus au des Éléments d’Euclide, transmis par l’arabe et publiés par Woepcke, 1856).

Notes et références

Voir aussi Bibliographie

Henk Bos, Redefining geometrical exactness (2001) éd. Springer, .

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Articles connexes Théorème de Descartes

Liens externes Voir aussi la Bibliographie des IREM (France). .

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