En statistique, le test du khi carré, aussi dit du khi-deux., d’après sa désignation symbolique , est un test statistique où la statistique de test suit une loi du sous l'hypothèse nulle.

Par exemple, il permet de tester l'adéquation d'une série de données à une famille de lois de probabilité ou de tester l'indépendance entre deux variables aléatoires.

Histoire

Ce test a été proposé par le statisticien Karl Pearson en 1900..

Principe Tout test de statistique classique vise à vérifier une hypothèse, en particulier par rapport à l'hypothèse nulle, notée H0, qui postule qu'une différence entre des jeux de données est due au hasardLes méthodes bayésiennes, pour leur part, ne font que remplacer cette valeur arbitraire unique par une distribution de probabilité qui sera ensuite affinée par les observations successives.. L'hypothèse alternative que l'on vérifie suppose que les données considérées proviennent de variables aléatoires qui suivent une loi de probabilité donnée, et l'on souhaite tester la validité de cette hypothèse.

Ces données ayant été réparties en classes, il faut : calculer algébriquement la distance entre les données observées et les données théoriques attendues ; se donner a priori un risque d'erreur, celle consistant à rejeter l'hypothèse, alors qu'elle est vraie (la valeur 5 % est souvent choisie par défaut) ; déterminer le nombre de degrés de liberté du problème à partir du nombre de classes, et à l'aide d'une table de ., déduire, en tenant compte du nombre de degrés de liberté, la distance critique qui a une probabilité de dépassement égale à ce risque.

Si la distance calculée entre les données observées et théoriques est supérieure à la distance critique, on conclut que le résultat n'est pas dû seulement aux fluctuations d'échantillonnage, et que l'hypothèse nulle doit être rejetée. Le risque choisi au départ est celui de donner une réponse fausse lorsque les fluctuations d'échantillonnage sont seules en cause. Le rejet est évidemment une réponse négative dans les tests d'adéquation et d'homogénéité mais il apporte une information positive dans les tests d'indépendance. Pour ceux-ci, il montre le caractère significatif de la différence, ce qui est intéressant en particulier dans les tests de traitement d'une maladie.

Test du d'adéquation Le test du d'adéquation (dénommé aussi test du de conformité ou test du d'ajustement) permet de vérifier si un échantillon d'une variable aléatoire donne des observations comparables à celles d'une loi de probabilité P définie a priori dont on pense, pour des raisons théoriques ou pratiques, qu'elle devrait être la loi de . L’hypothèse nulle (H0) est donc la suivante : la variable aléatoire suit la loi de probabilité P.

En termes de valeur-p, l'hypothèse nulle (l'observation est suffisamment proche de la théorie) est généralement rejetée lorsque .

Test d'adéquation à une loi multinomiale On observe un échantillon de données d'une variable aléatoire qui prend un nombre fini de valeurs distinctes . On veut tester l'hypothèse nulle suivante : « la probabilité que prenne la valeur vaut , pour j allant de 1 à , avec . »

On appelle la probabilité empirique que prenne la valeur , c'est-à-dire le nombre d'observations qui prennent la valeur dans l'échantillon divisé par le nombre total d'observations :

On peut alors définir la statistique du : où

Sous l'hypothèse nulle, cette statistique suit asymptotiquement une loi du à degrés de liberté.. On peut donc construire un test de niveau en rejetant l'hypothèse nulle lorsque la statistique de test T est plus grande que le quantile d'ordre de la loi du à degrés de liberté : avec le quantile d'ordre de la loi du à degrés de liberté.

Cas général Il s'agit de juger de l'adéquation entre une série de données statistiques et une loi de probabilité définie a priori. Dans le cas général, cette loi peut être celle d'une variable aléatoire prenant un nombre dénombrable de valeurs (comme une loi de Poisson ou une loi géométrique par exemple), ou bien une variable aléatoire continue (comme une loi exponentielle ou une loi normale).

Pour appliquer la méthode précédente pour laquelle prend un nombre fini J de valeurs, on découpe l'ensemble des valeurs que peut prendre en classes. Par exemple, pour tester l'adéquation avec une loi de Poisson, on pourra prendre les classes {0}, {1}, ..., {J-2}, {n>J-2}. On note alors la probabilité empirique que appartienne à la classe , et la probabilité théorique d'y appartenir. On peut alors appliquer le test précédent. Les classes doivent être assez nombreuses pour ne pas perdre trop d'information mais, à l'inverse, pour satisfaire les conditions requises par la méthode, elles ne doivent pas être trop petites. En théorie, il faudrait que les effectifs soient infinis pour que la loi normale s'applique mais il est généralement admis qu'il faut 5 éléments dans chaque classe. Cette règle a été très discutée et celle qui semble recueillir le plus de suffrages est due à Cochran : 80 % des classes doivent satisfaire la règle des cinq éléments tandis que les autres doivent être non vides.

Le critère porte sur les déduits de la loi de référence et non sur les des données analysées. Il est souvent satisfait sans difficulté car, à la différence de la construction d'un histogramme, il est possible de jouer sur la largeur des classes.

Si la loi de probabilité théorique dépend de paramètres (moyenne, variance...) inconnus au moment du test, les données peuvent être utilisées pour estimer ceux-ci, ce qui facilite l'adéquation. Il faut alors diminuer le nombre de degrés de liberté du nombre de paramètres estimés. S'il y a paramètres inconnus, le nombre de degrés de liberté sera . Ainsi, dans l'exemple de l'adéquation à une loi de Poisson de paramètre inconnu, on pourra estimer la valeur de ce paramètre par la moyenne empirique de Y, mais la loi du à appliquer aura un nombre de degrés de liberté égal à au lieu de .

Exemple 1 : détermination de l'équilibrage d'un dé vignette|Est-ce que le dé est bien équilibré ? On souhaite tester l'hypothèse selon laquelle un dé à six faces n'est pas truqué, avec un risque . L'hypothèse que l'on souhaite rejeter (qu'on appelle hypothèse nulle et qu'on note ) est donc ici : « Le dé est équilibré ». Pour cela, le dé est lancé de suite. S'il est équilibré, on s'attend que sur ces , chaque chiffre tombe . Supposons que notre expérience donne les résultats suivants : numéro tiré 1 2 3 4 5 6 effectifs 88 109 107 94 105 97

c'est-à-dire nous avons obtenu 88 fois le chiffre 1, 109 fois le chiffre 2 En considérant l'hypothèse nulle vraie, la variable définie précédemment vaut :.

Le nombre de degrés de liberté est de . En effet, et si l'on connaît par exemple les nombres de fois où l'on obtient les chiffres 1 à 5, on connaît le nombre de fois où l'on obtient le chiffre 6 : .

Ainsi, la statistique suit la loi du à cinq degrés de liberté. Cette loi du donne la valeur en deçà de laquelle on considère le tirage comme conforme avec un risque : . Puisque , on ne peut pas rejeter l'hypothèse nulle : ces données statistiques ne permettent pas de considérer que le dé est truqué.

Par contre, supposons que notre expérience donne le tirage suivant : numéro tiré 1 2 3 4 5 6 effectifs 89 131 93 92 104 91 Dans ce cas, la variable définie précédemment vaut : .

Puisque , on peut cette fois rejeter l'hypothèse nulle : ces données statistiques permettent de considérer que le dé est truqué.

Exemple 2 : adéquation avec la loi de Poisson On considère une variable aléatoire prenant des valeurs entières positives ou nulles. Un échantillonnage de 100 valeurs de cette variable se répartit comme suit : valeurs 0 1 2 3 4 effectifs constatés 31 45 16 7 1

On souhaite tester l'hypothèse selon laquelle suit une loi de Poisson, avec un risque . La valeur du paramètre de cette loi de Poisson est obtenue en calculant l'espérance empirique de , ce qui donne ici . Ce paramètre étant ici l'objet d'une estimation, on diminuera le nombre de degrés de liberté d'une unité. Les effectifs attendus pour une loi de Poisson de paramètre sont : valeurs 0 1 2 3 ou plus effectifs attendus 36,06 36,78 18,76 8,40 On regroupe les effectifs supérieurs ou égaux à 3 dans une même classe, ceux supérieurs à 4 étant trop petits. La statistique du , définie plus haut, et notée , prend alors la valeur 2,97. Or, la loi du à deux degrés de liberté donne . Donc, on ne rejette pas l'hypothèse que la variable aléatoire Y suive une loi de Poisson, au risque d'erreur de 5 %.

Test du d'homogénéité Il s'agit ici de se demander si deux listes de nombres de même effectif total peuvent dériver de la même loi de probabilité. L'hypothèse nulle (H0) est la suivante : les deux échantillons proviennent de deux variables aléatoires suivant la même loi.

En termes de valeur p, l'hypothèse nulle est généralement rejetée lorsque .

La méthode précédente s'applique en remplaçant le terme relatif à la loi de probabilité par relatif à la seconde liste et le est donné par .

Cette notation s'inspire de celle utilisée pour le test d'adéquation, elle-même déduite de la notation classique de la loi multinomiale. Ici, comme dans le test d'indépendance, la notion de probabilité n'apparaît plus de manière explicite. De nombreux utilisateurs préfèrent donc adopter la notation qui utilise les symboles pour les valeurs observées et pour les valeurs espérées, ce qui conduit à l'expression .

Dans le cas où l'on dispose de plusieurs listes de nombres, chacune d'effectif différent, et qu'on veuille tester si ces listes suivent une même loi de probabilité, on appliquera le test d'indépendance, décrit ci-après. Il s'agit en effet de tester si les diverses modalités de la loi de probabilité sont indépendantes des listes en présence.

Test du d'indépendance Ce test permet de vérifier l'absence de lien statistique entre deux variables et . Les deux sont dites indépendantes lorsqu'il n'existe aucun lien statistique entre elles, dit autrement, la connaissance de ne permet en aucune manière de se prononcer sur . L'hypothèse nulle (H0) de ce test est la suivante : les deux variables et sont indépendantes.

En termes de valeur p, l'hypothèse nulle est généralement rejetée lorsque .

Problème On considère ici deux variables aléatoires et et on souhaite tester le fait que ces deux variables sont indépendantes. Par exemple, désigne une catégorie de population (salarié, employé, agriculteur, cadre supérieur, chômeur...) et un critère particulier (par exemple, le revenu réparti dans diverses tranches). L'hypothèse à tester est l'indépendance entre la population d'appartenance de l'individu et la valeur du critère. L'hypothèse affirme donc que le fait de connaître la catégorie de population d'un individu n'influence pas la valeur des critères.

et sont censées prendre un nombre fini de valeurs, pour , pour . On dispose d'un échantillonnage de données. Notons l'effectif observé de données pour lesquelles prend la valeur et la valeur . Sous l'hypothèse d'indépendance, on s'attend à une valeur espérée définie comme suit :

où

(nombre de données pour lesquelles ) et (nombre de données pour lesquelles )

On calcule la distance entre les valeurs observées (ou valeurs empiriques) et les valeurs attendues s'il y avait indépendance (ou valeurs théoriques) au moyen de la formule :

On montre que la loi de suit asymptotiquement une loi du à degrés de liberté.

Démonstration Le test d’indépendance du tableau de cases équivaut au test d’adéquation à une loi multinomiale de probabilités estimées par selon H0, ce qui demande donc d’estimer valeurs parmi (la est forcée par ) et valeurs parmi (la est forcée par ). On a donc au départ degrés de liberté pour remplir les cases du tableau, valeur de laquelle il faut retrancher les estimations de paramètres (voir dernier paragraphe de la section #Cas général ci-dessus), ce qui donne un nombre total de degrés de liberté de ..

Exemple